■孙艳秋 一、 平面向量及其应用 例1 如图1 , 在△A B C 中, a, b, c 分别 是角 A, B, C 所 对 的 边, a =4 3, c=4 , ∠B A C=2 π 3 , P 为 △A B C 内 部 ( 包 含 边 界) 的一动点, 且 P A= 1 。 图1 ( 1 ) 求 | A C →+A B → | 的值。 ( 2 ) 求 P B →·P C → 的取值范围。 解: ( 1 ) 在△A B C 中, 由余弦定理得a 2= b 2+ c 2- 2 b c c o sA, 即4 8 = b 2+ 1 6 + 4 b, 解得 b= 4或b=- 8 ( 舍去) , 所以| A C →+A B → | 2= ( A C →+A B →) 2=A C → 2 +A B → 2 + 2 A C →·A B →= 1 6 。 故 A C →+A B → = 4 。 ( 2 ) 以 A 为原点, A B 所在直线为x 轴, 建立平 面 直 角 坐 标 系 ( 作 法 略) 。 设 ∠P A B = α 0 ≤ α≤ 2 π 3 , 则 点 P ( c o s α, s i nα) 。 由 ( 1 ) 知, A B =A C =4 , ∠B A C =2 π 3 , 所 以 点 B( 4 , 0 ) , 点 C( -2 , 2 3) , 所 以 P B → = ( 4- c o s α, -s i nα) , P C → = ( -2-c o s α, 2 3- s i n α) 。所以 P B →·P C →=- 2 3 s i n α- 2 c o s α -7= - 4 s i nα+π 6 -7 。因 为 0≤ α≤2 π 3 , 所以π 6≤ α+π 6≤ 5 π 6 , 所以1 2≤ s i nα+π 6 ≤ 1 , 所以- 1 1 ≤P B →·P C →≤- 9 , 所以 P B →·P C → 的取值范围是[ - 1 1 , - 9 ] 。 提炼: 有关向量数量积的求解策略: 一是 利用数量积定义、 向量的有关运算; 二是建立 平面直角坐标系, 利用坐标运算求解。 二、 复数 例2 ( 多选题) 已知z 1, z 2 为复数, 下列 命题不正确的是( ) 。 A. 若z 1= z 2, 则 z 1 = z 2 B . 若 z 1 = z 2 , 则z 1= z 2 C . 若z 1> z 2 则 z 1 > z 2 D. 若 z 1 > z 2 , 则z 1> z 2 解: 当两个 复 数 相 等 时, 模 一 定 相 等, A 正确。当两个复数的模相等 时, 复 数 不 一 定 相等, 如 1 - i = 1 + i , 但1 - i ≠1 + i , B 不 正确。若z 1> z 2 则z 1, z 2∈R,z 1 不 一 定 比 z 2 大, 如2 >- 3 , 但 | 2 | < | - 3 | , C 不正 确。当z 1, z 2 都是虚数时, 不能比较大小, D 不正确。应选 B C D。 提炼: 复 数 相 等 的 充 要 条 件 是 “ 化 虚 为 实” 的主要依据, 多用来求解参数问题。解决 复数相等的关键是利用实部与实部相 等、 虚 部与虚部相等列出方程( 组) 求解。 三、 立体几何初步 例3 如 图 2 , P 是 正 方 形 A B C D 所 在 平面 外 一 点, P A =P C =A B =2 , 且 平 面 P A C⊥平 面 A B C D, E, F 分 别 是 线 段 A B, P C 的中点。 图2 ( 1 ) 求证: B D⊥P C。 ( 2 ) 求证: E F∥平面 P A D。 ( 3 ) 求点 E 到平面P A D 的距离。 证明: ( 1 ) 由 正 方 形 A B C D, 可 得 B D ⊥ 3 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年6月 全科互知
A C。由平面 P A C⊥平面 A B C D, 平面 P A C ∩平面 A B C D=A C, 可得 B D⊥平面 P A C。 因为 P C?平面 P A C, 所以 B D⊥P C。 ( 2 ) 取 P D 中 点G。在 △P D C 中, 因 为 F, G 分别是P C, P D 的中点, 所以 F G∥ C D, 且 F G=1 2 C D。 因为 E 是A B 中点, 所以 A E∥ C D, A E =1 2 C D。所 以 A E∥ G F, A E=G F, 即 四 边 形 A E F G 是平行四边形, 所以 E F∥ A G。 又A G?平面P A D, E F?平面P A D, 故 E F∥平面 P A D。 ( 3 ) 设 A C∩B D=O。因为 P A=P C= 2 , O 为A C 中点, 所以 P O⊥A C。 因 为 平 面 P A C ⊥ 平 面 A B C D, 平 面 P A C∩平面 A B C D=A C, P O?平面 P A C, 所以 P O ⊥ 平 面 A B C D, 即 P O 是 三 棱 锥 P - A D E 的高。 由 A B =2 , 可 得 A O =O D = 2, 所 以 P O= P A 2-O A 2 = 2。 因 为 R t △P O D ≌ R t △P O A,所 以 P A=P D= 2 。 设点 E 到平面P A D 的距离为d。 因为VE - P A D = VP - A D E , 所以1 3S△P A D ·d= 1 3 S△A D E ·P O, 即S△P A D · d= S△A D E ·P O, 可 得 3 4 × 4 × d=1 2× 2 × 1 × 2, 解得d= 6 3 , 即点 E 到平面P A D 的距离为 6 3 。 提炼: 求点到平 面 的 距 离 的 两 种 常 用 方 法: 构造 法, 根 据 定 义 构 造 垂 直 于 平 面 的 直 线, 确定垂足位置, 将所求线段化归到三角形 中求解; 等积变换法, 将所求距离看作某个几 何体( 多为棱锥) 的高, 利用体积相等建立方 程求解。 四、 概率 例4 羽毛球比赛规则: ① 2 1分制, 每球 取胜加1分, 由胜球方发球; ②当双方比分为 2 0 ∶ 2 0之后, 领先对方2分的一方赢得该局 比赛, 当双方比分为2 9 ∶ 2 9时, 先取得3 0分 的一方赢得该局比赛。经过 鏖 战, 甲 乙 比 分 为2 7∶2 8 , 甲 在 关 键 时 刻 赢 了 一 球, 比 分 变 为2 8 ∶2 8 。在 最 后 关 头, 按 以 往 战 绩 统 计, 甲发球 时, 甲 赢 球 的 概 率 为 0 . 4 , 乙 发 球 时, 甲赢球的概率为0 . 5 , 每球胜负相互独立。 ( 1 ) 甲乙双方比分为 2 8∶2 8 之 后, 求 再 打完两球该局比赛结束的概率。 ( 2 ) 甲乙双方比分为 2 8∶2 8 之 后, 求 甲 赢得该局比赛的概率。 解: ( 1 ) 设 事 件 A = “ 甲 乙 双 方 比 分 为 2 8 ∶ 2 8之后, 两人又打了两个球该局比赛结 束” , 则这两个球 均 由 甲 得 分 的 概 率 为 P 1= 0 . 4 × 0 . 4 =0 . 1 6 , 这两个球均由乙得分的概 率为 P 2=( 1 - 0 . 4 ) ×( 1 - 0 . 5 ) = 0 . 3 。 因此所求概率 P( A) =P 1+P 2= 0 . 4 6 。 ( 2 ) 设事件 B= “ 甲 乙 双 方 比 分 为 2 8∶ 2 8之后, 甲赢得该局比赛” , 则分三种情况: 甲连得2分 的 概 率 为 P 3=0 . 4×0 . 4= 0 . 1 6 ; 甲先得1分, 乙得1分, 甲再得 1 分的 概率为 P 4= 0 . 4 ×( 1 - 0 . 4 ) × 0 . 5 = 0 . 1 2 ; 乙 先得1 分, 甲 得 1 分, 甲 再 得 1 分 的 概 率 为 P 5=( 1 - 0 . 4 ) × 0 . 5 × 0 . 4 = 0 . 1 2 。 因此所求概率P( B) = P 3+ P 4+ P 5= 0 . 4 。 提炼: 求复杂事 件 的 概 率 通 常 有 两 种 方 法: 一是将所求事件转化为彼此互斥的 事 件 的和; 二是先求其对立事件的概率, 再应用公 式 P( A) = 1 -P( A) 求解。 甲、 乙两名同学进行篮球投篮练习, 甲同 学一次投篮命中的概率为 3 4, 乙同学一次投 篮命中的概率为 2 3, 假设两人投篮命中与否 互不影响, 则甲、 乙两人各投 篮 一 次, 至 少 有 一人命中的概率是 。 提示: 甲、 乙 两 人 都 不 命 中 的 概 率 为 1 -3 4 × 1 -2 3 = 1 1 2 , 则至少有一人命中 的概率是1 -1 1 2 = 1 1 1 2 。 作者单位: 江苏省无锡市第六高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 4 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年6月 全科互知
?????????????????????????????????????? ?????????????? ?????????????????????????????????????? ?????????????? 平面向量及其应用考点赏析 ■季伟松 平面向量是高中数学的重要内容, 是高 考的常 考 点。 平 面 向 量 具 有 代 数 与 几 何 的 “ 双重身份” , 它是联系多个知识点的媒介, 更 是高中数学知识的一个交汇点。 考点1 : 平面向量的基本概念 平行向量就是共线向量, 二者是等价的; 非零向量的平行具有传递性; 相等向量 一 定 是平行向量, 而平行向量未必是相等向量; 相 等向量具有传递性。向量与 数 量 不 同, 数 量 可以比较大小, 向量不能比较大小, 但向量的 模是非负实数, 可以比较大 小。向 量 可 以 平 移, 平移后的向量与原向量 是 相 等 向 量。非 零向量a 与 a | a |的关系: a | a |是与a 同方向的 单位向量。 例1 设a 是非零向量, λ 是非零实数, 下列结论正确的是( ) 。 A. a 与- λ a 的方向相反 B . | - λ a | ≥ | a | C . a 与λ 2 a 的方向相同 D. | - λ a | = | λ | a 解: 当λ< 0时, a 与- λ a 的方向相同, A 错误。当 | λ | < 1时, B 不成立。因为λ 是非 零实数, 所以λ 2> 0 , 因此a 与λ 2 a 的方向相 同, C 正确。 |- λ a |是一个实数, | λ | a 是 一 个向量, D 错误。应选 C 。 考点2 : 平面向量的线性运算 向量加法和减 法 均 适 合 三 角 形 法 则; 共 起点的向量求和用平行四边形法则, 求 差 用 三角形法则; 求首尾相连向量的和用三 角 形 法则。求参数问题, 可以通过 向 量 的 运 算 将 向量表示出来, 与含参数的表达式进行比较, 再求出参数的值。 例2 在 △A B C 中, 点 M 为 A C 上 的 点, 且 AM →=1 2M C →, 若 B M →= λ B A →+ μ B C →, 则 λ- μ= 。 解: 由 AM →= 1 2M C →, 可得 AM →= 1 3A C →, 所以 B M →=B A →+AM →=B A →+1 3A C →=B A →+ 1 3 ( B C → -B A →) = 2 3B A → + 1 3B C →。 又 因 为 B M →= λ B A →+ μ B C →, 所以λ=2 3, μ=1 3, 所以 λ- μ=1 3。 考点3 : 共线向量定理及其应用 对于向量a, b, 若 存 在 实 数λ, 使 得a= λ b( b≠0 ) , 则a 与b 共线; 若存在实数λ, 使 得 A B →= λ A C →, 则 A, B, C 三点共线。利用共 线向量定理及向量相等的条件, 可求参 数 的 值。 例3 设两个非零向量a 和b 不共线。 ( 1 ) 若 A B →= a+ b, B C →=2 a+8 b, C D →= 3 ( a- b) , 求证: A, B, D 三点共线。 ( 2 ) 试确定实数k, 使得k a+ b 和a+ k b 共线。 解: ( 1 ) 因为 A B →= a+ b, B C →=2 a+8 b, C D →= 3 ( a- b) , 所以 B D →=B C →+C D →=2 a+ 8 b+ 3 ( a- b) = 5 ( a+ b) = 5 A B →, 所以 A B → 与 B D → 共 线。又 A B → 与 B D → 有 公 共 点 B, 所 以 A, B, D 三点共线。 ( 2 ) 因为k a+ b 与a+ k b 共线, 所以存在 实数λ, 使得k a+ b= λ( a+ k b) , 即( k- λ) a =( λ k-1 ) b。又a, b 是 两 个 不 共 线 的 非 零 向量, 所以 k- λ= 0 , λ k- 1 = 0 , 所以k 2- 1 = 0 , 即k= ± 1 。故当k=± 1时, 向量k a+ b 和a+ k b 共线。 考点4 : 平面向量基本定理及其应用 用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、 减或数乘运算。用平面 向 量 基 本 定 理 解决问题的一般思路是先选择一组基 底, 并 运用该 基 底 将 条 件 和 结 论 表 示 成 向 量 的 形 式, 再通过向量的运算来解决。 例4 如图1所示, 在△A B C 中, A D →= 1 3D C →, P 是 线 段 B D 上 一 点, 若 A P → = 5 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年6月 全科互知
m A B →+1 6A C →, 则实数 m 的值为( ) 。 图1 A. 1 3 B . 2 3 C . 2 D. 1 2 解: 设 B P →= λ B D →。因为 A D →=1 3D C →, 所 以 A D →=1 4A C →, 所以 A P →=A B →+B P →=A B →+ λ B D →=A B → + λ( B A → +A D →) = ( 1- λ) A B → + 1 4 λ A C →。又因 为 A P → =mA B → + 1 6A C →, 所 以 1 - λ=m, 1 4 λ=1 6, 解得λ=2 3, m=1 3。应选 A。 考点5 : 平面向量的数量积的应用 利用数量积求 模 是 数 量 积 的 重 要 应 用, 求向量 的 模 的 几 种 处 理 方 法: a 2 =a·a= | a | 2 或 | a |= a· a; | a± b |= ( a± b) 2 = a 2± 2 a· b+ b 2 ; 若a=( x, y) , 则 | a | = x 2+ y 2 。求向量夹角的两种方 法: 当 向 量 a, b 是非坐标形式时, 求向量a 与b 的夹角 θ, 需求出 a· b 及 | a | , | b | 或得出它们之间的 关系, 由c o s θ= a· b | a | · | b |求 得; 若 向 量 a= ( x 1, y 1 ) , b = ( x 2, y 2 ) , 则 c o s< a, b> = x 1 x 2+ y 1 y 2 x 2 1+ y 2 1 · x 2 2+ y 2 2 , < a, b> ∈[ 0 , π ] 。 例5 已知单位向量e 1, e 2 的夹角为2 π 3 , 则 | e 1- λ e 2 | 的最小值为( ) 。 A. 2 2 B . 1 2 C . 3 2 D. 3 4 解: 因为 e 1 ·e 2 =| e 1| | e 2| c o s2 π 3 = -1 2, 所以| e 1- λ e 2 | 2= e 2 1+ λ 2 e 2 2-2 λ e 1· e 2 = λ 2+ λ+ 1 = λ+1 2 2 +3 4≥3 4, 所以 | e 1- λ e 2 | ≥ 3 2 。应选 C 。 考点6 : 平面向量的综合应用 对于这类问题, 当 题 目 条 件 给 出 的 向 量 中含有三角函数时, 可利用向量的共线 或 垂 直关系, 结合向量的运算, 得到三角函数的关 系式, 然后求解, 也可以利用三角函数在定义 域内的有界性, 求值域等。对 于 平 面 向 量 与 解三角形问题, 要注意余弦定理和正弦 定 理 的灵活应用。 例6 已 知 向 量a= (3 s i nx, c o s x) , b=( c o s x, c o s x) 。 ( 1 ) 若a ∥ b, 且x∈( - π , 0 ) , 求x 的值。 ( 2) 若 函 数 f ( x) =2 a ·b -1 , 且 f x 2 =1 3, 求s i n2 x-π 6 的值。 解: ( 1) 由 a∥ b, 可 得 3s i nx c o sx - c o s 2 x= 0 , 即c o s x( 3 s i nx- c o s x) =0 , 所 以 c o sx =0 或 3s i nx -c o sx =0 。 当 c o s x= 0时, 由x∈( -π , 0 ) , 可得x=-π 2; 当 3 s i n x- c o s x= 0时, 由t a n x= 3 3 , x∈ ( - π , 0) , 可 得 x = -5 π 6 。 综 上 可 得, x = -π 2或x=- 5 π 6 。 ( 2 ) 由题意得函数 f( x) =2 a· b-1= 2 3 s i n x c o s x +2 c o s 2 x -1= 3s i n2 x + c o s 2 x= 2 3 2 s i n 2 x+ c o s 2 x = 2 s i n2 x+π 6 。 因为 f x 2 =2 s i n x+π 6 = 1 3, 所 以 s i nx+π 6 =1 6。据 此 可 得 s i n 2 x-π 6 = s i n2x+π 6 -π 2 =- s i n π 2- 2x+π 6 = - c o s 2x+π 6 =2 s i n 2 x+π 6 -1 =2× 1 3 6 - 1 =- 1 7 1 8 。 作者单位: 浙江省宁海县宁海中学 ( 责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年6月 全科互知
■肖小翠 立体几何初步是高中数学的重要知识, 也 是高考的必考知识, 要想学好这部分内容, 离 不开学习要点的总结与归纳。下面为大家整 理了这部分的学习要点, 大家一起来看看吧。 要点1 : 空间几何体的结构特征、 表面积 和体积 熟练掌握空间 几 何 体 的 结 构 特 征, 直 观 图的转化, 几何体表面积、 体 积 公 式 的 应 用, 重视数形结合思想的应用。空间几何体的表 面积与体积的求法: 多面体的表面积是 各 个 面的面积之和; 组合体的表面积注意衔 接 部 分的处理; 旋转体的表面积注意其侧面 展 开 图的应用; 求复杂几何体的体积常用割补法、 等积法。 例1 ( 多 选 题) 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ( ) 。 A. 棱柱的侧棱都相等, 侧面都是全等的 平行四边形 B . 在四棱柱中, 若两个过相对侧棱的截 面都垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱 C . 存在每个面都是直角三角形的四面体 D. 棱 台 的 上、 下 底 面 可 以 不 相 似, 但 侧 棱长一定相等 根据棱柱的定义, 棱柱的各 个侧面都是平行四边形, 但不一 定全等, A 不正确。在直四棱柱中, 两个过相 对侧棱的截面的交线平行于侧棱, 且垂直于底 面, B正确。正方体 A B C D- A 1 B 1 C 1D 1( 图略) 中的三棱锥C 1 - A B C, 四个面都是直角三角形, C正确。棱台的上、 下底面相似且是对应边平 行的多边形, 各侧棱的延长线交于一点, 但是 侧棱长不一定相等, D不正确。应选 B C 。 要点2 : 与球有关的切、 接问题 与球相关问题的解题策略: 作适当的截面 ( 如轴截面等) 时, 对于球内接长方体、 正方体, 则截面一要过球心, 二要过长方体或正方体的 两条体对角线, 才有利于解题; 对于“ 内切” 和 “ 外接” 问题, 首先要弄清几何体之间的相互关 系, 主要是指特殊的点线面之间的关系, 然后 把相关的元素放到这些关系中来解决。 例2 如图1 , 三棱锥 P - A B C 的四个顶 点在球O 的球面上, P A=P B=P C, △A B C 是边长 为 2 的 正 三 角 形, E, F 分 别 是 P A, A B 的中点, ∠ C E F=9 0 ° , 则 球 O 的 体 积 为 。 图1 因 为 P A = P B = P C, △A B C 为边长为 2 的等边三角 形, 所 以 P - A B C 为 正 三 棱 锥, 所 以 P B⊥ A C。因为 E, F 分 别 为 P A, A B 的 中 点, 所 以 E F∥ P B, 所 以 E F⊥A C。又 E F⊥C E, C E∩A C =C, 所 以 E F ⊥ 平 面 P A C, 所 以 P B⊥ 平 面 P A C, 所 以 ∠A P B =9 0 ° , 所 以 P A=P B=P C= 2。 三棱锥 P - A B C 为 正 方 体 的 一 部 分, 结 合正 方 体 的 外 接 球 可 得 2 R = 2 + 2 + 2= 6, 即R= 6 2 , 所以球O 的体积V=4 3 π R 3= 4 3 π × 6 6 8 = 6 π 。 要点3 : 平面的基本事实及应用 证明共面的方法: 先确定一个平面, 再证 其余的线( 或点) 在这个平面内; 证明两平面 重合。证明共线的方法: 先由 两 点 确 定 一 条 直线, 再证其他各点都在这条直线上; 直接证 明这些点都在同一条特定直线上。证明线共 点问题的常用方法: 先证其中两条直线 交 于 7 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年6月 全科互知
一点, 再证其他直线经过该 点。点 线 面 位 置 关系的判断, 注意借助长方体或正方体模型, 直观感知并认识空间点线面的位置关系。异 面直线的判断常用的结论: 平面外一点 A 与 平面内一 点 B 的 连 线 和 平 面 内 不 经 过 点 B 的直线是异面直线。 例3 ( 多选题) 已知 m, n 是两条不同的 直线, α, β 是两个不同的平面, 则下列命题错 误的是( ) 。 A. 若α , β垂直于同一平面, 则α与β平行 B . 若 m, n 平 行 于 同 一 平 面, 则 m 与n 平行 C . 若α, β 不平行, 则 在α 内 不 存 在 与β 平行的直线 D. 若 m, n 不平行, 则 m 与n 不可能 垂 直于同一平面 A 中, 垂直于同一个平面的 两个平面可能相交也可能平行, A 错误。B 中, 平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线可能 平 行、 相 交 或 异 面, B 错 误。C 中, 若 两个平面相交, 则一个平面内与交线平 行 的 直线一定和另一个平面平行, C 错误。D 中, 若两条直线垂直于同一个平面, 则这两 条 直 线平行, 所以若两条直线不平行, 则它们不可 能垂直于同一个平面, D 正确。应选 A B C 。 要点4 : 平行关系的综合应用 熟练掌握线线、 线面、 面面平行关系间的 相互转化是解决线线、 线面、 面面平行的综合 问题的关键。 例4 如 图 2 , 已 知 点 S 是 正 三 角 形 A B C 所在平面外的一点, 且 S A=S B=S C, S G 为△ S A B 的高, D, E, F 分别是A C, B C, S C 的中点, 试判断 S G 与平面 D E F 的位置 关系, 并给予证明。 图2 S G 与 平 面 D E F 的 位 置 关 系: S G∥平面 D E F。 证明如下。由 E F 为 △ S B C 的中位 线, 可得 E F∥ S B。因为 E F?平面 S A B, S B? 平面S A B, 所以E F∥平面S A B。同理可得, D F∥平 面 S A B。因 为 E F ∩D F =F, E F, D F? 平 面 D E F, 所 以 平 面 S A B ∥ 平 面 D E F。又因为S G?平面S A B, 所以S G∥平 面 D E F。 要点5 : 垂直关系的综合应用 证明直线和平 面 垂 直 的 常 用 方 法: 判 定 定理; 垂直于平面的传递性( a∥ b, a⊥ α? b⊥ α) ; 面面平行的性质( a⊥ α, α∥ β? a⊥ β) ; 面 面垂直的性质。证明线面垂直的关键是证明 线线垂直, 而证明线线垂直则需借助线 面 垂 直的性质。在空间图形中, 如 已 知 条 件 中 有 面面垂直, 一般需要作辅助线, 考虑应用面面 垂直的性质定理得到线面垂直, 继而可 得 线 线垂直。在应用面面垂直的 性 质 定 理 时, 找 准两平面的交线是关键。 例5 如图3 , 在四棱锥 P - A B C D 中, 侧 面 P A D 是等边三角形, 且平面 P A D⊥平面 A B C D。 图3 问在 A D 上是否存在一点 M , 使得平面 P C M ⊥平面 A B C D。若 存 在, 请 证 明; 若 不 存在, 请说明理由。 存在点 M, 当 M 为 A D 的中 点时, 平面P C M⊥平面A B C D。 由△P A D 是 等 边 三 角 形, 可 得 PM ⊥ A D。而平面 P A D ⊥ 平 面 A B C D, PM ? 平 面 P A D, A D 为平面P A D 和平面A B C D 的 交线, 所以 PM ⊥ 平面 A B C D。又 PM ? 平 面 P C M , 所以平面 P C M ⊥平面 A B C D。 作者单位: 江西省赣州市会昌县第五中学 ( 责任编辑 郭正华) 8 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年6月 全科互知