■刘 哲 平均数是数据的重要特征, 能反映数据 的平均水平。下面就平均数 的 三 种 题 型, 举 例分析, 供大家学习与参考。 题型一: 利用频 率 分 布 直 方 图 求 样 本 数 据的平均数 例1 从高二抽出5 0名学生参加数学竞 赛, 由竞赛成绩得到如图 1 所示的频率分布 直方图。 图1 求这5 0名学生成绩的众数, 中位数和平 均成绩。 解: 由图知, 在[ 7 0 , 8 0 ) 分数段的人最多, 故众数为7 0 + 8 0 2 =7 5 。竞赛成绩在[ 4 0 , 7 0 ) 内的频率 为 ( 0 . 0 0 4+0 . 0 0 6+0 . 0 2 ) ×1 0= 0 . 3 , 竞赛成绩在[ 7 0 , 8 0 ) 内的频率为0 . 0 3 × 1 0 = 0 . 3 , 可知中位数在第4组, 所以中位数 为7 0 + 0 . 5 - 0 . 3 0 . 3 × 1 0 = 2 3 0 3 。平均成绩为4 5 ×( 0 . 0 0 4×1 0 ) +5 5× ( 0 . 0 0 6×1 0 ) +6 5× ( 0 . 0 2 × 1 0 ) + 7 5 ×( 0 . 0 3 × 1 0 ) + 8 5 ×( 0 . 0 2 4 × 1 0 ) + 9 5 ×( 0 . 0 1 6 × 1 0 ) = 7 6 . 2 ( 分) 。 评注: 在频率分布直方图中, 众数是一组 数据出现次数最多的数值; 平均数的估 计 值 等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和。 题型二: 求分层随机抽样的平均数 例2 高一年级有男生4 9 0人, 女生5 1 0 人, 张华按照男、 女生进行分层, 得到男、 女生 平均身高分别为1 7 0 . 2 c m 和1 6 0 . 8 c m。如 果张华用分层随机抽样抽取样本, 总样 本 量 为1 0 0 , 那么 男、 女 生 中 分 别 抽 取 了 多 少 名? 在这种情况下, 请估计高一年级全体学 生 的 平均身高。 解: 高 一 年 级 有 男 生 4 9 0 人, 女 生 5 1 0 人, 张华按照男、 女生进行分 层, 可 知 应 抽 取 男生4 9人, 女生 5 1 人。估 计 高 一 年 级 全 体 学生的 平 均 身 高 为 1 7 0 . 2× 4 9 1 0 0+1 6 0 . 8× 5 1 1 0 0≈1 6 5 . 4 ( c m) 。 评注: 在 分 层 随 机 抽 样 中, 若 层 数 为 n, 各层包含的个体数分别为 N1, N2, …, Nn, 各 层的平均数分别为 x 1, x 2, …, x n, 则 总 体 平 均数x= x 1×N1+ x 2×N2+…+ x n×Nn N1+N2+…+Nn 。 题型三: 已知平均数求数据的平均数 例3 已知样本数据x 1, x 2, …, x n 的均 值x= 5 , 则样本数据x 1+ 3 , x 2+ 3 , …, x n + 3的 均 值 为 ; 样 本 数 据 2 x 1 +1 , 2 x 2 + 1 , …, 2 x n+ 1的均值为 。 解: 由题设知x= x 1+ x 2+…+ x n n = 5 。 所以样本数据 x 1+3 , x 2+3 , …, x n +3 的均 值 为x 1+ x 2+… x n n +3=8 ; 样 本 数 据 2 x 1 +1 , 2 x 2 +1 , …, 2 x n +1 的 均 值 为 ( 2 x 1+ 1 ) +( 2 x 2+ 1 ) +…+( 2 x n+ 1 ) n = 2 ( x 1+ x 2+…+ x n) + n n =2 x+1=2×5+ 1 = 1 1 。 评注: 若样本数据 x 1, x 2, …, x n 的均值 为x, 则样本数据x 1+m, x 2+m, …, x n +m 的均 值 为x+m; 样 本 数 据 a x 1 +m, a x 2 + m, …, a x n+m 的均值为a x+m。 作者单位: 湖北省恩施市第三高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年5月 全科互知
■郭淑慧 分层随机抽样的样本平均数与方差, 在 旧教材中没有直接涉及, 而在新教材中 都 有 相关例题出现, 这为深入研究分层随机 抽 样 提供了详细的数据信息, 更有利于数据处理、 数据分析与数学决策。 一、 新教材的新增内容 在分层随机抽样中, 如果层数分为两层, 第1层和第 2 层包含的个体数分别为 M 和 N, 抽取的样本容量分别为 m 和n, 第1层和 第2层样本的平均数分别为 x 和y, 则样本 的平均数 w= m m+ n x+ n m+ n y= M M +Nx+ N M +N y。样本 的 平 均 数 和 各 层 的 样 本 平 均 数的关系为 w= m m+ n x+ n m+ n y= M M +Nx + N M +N y。分层随机抽样的方差: 设样本容 量为n, 平均数为x, 其中两层的个体数分别 为n 1, n 2, 两层的 平 均 数 分 别 为 x 1, x 2, 方 差 分 别 为 s 1 2, s 2 2, 则 这 个 样 本 的 方 差 s 2 = n 1 n [ s 1 2+( x 1- x) 2] + n 2 n [ s 2 2+( x 2- x) 2] 。 二、 新增内容的考查点 1 . 样本平均数的估计 例1 某校有住宿的男生4 0 0人, 住宿的 女生6 0 0人, 为了解住宿生每天运动时间, 通 过分层随机抽样的方法抽 到 1 0 0 名 学 生, 其 中男生、 女生每天运动时间的平均值分 别 为 1 0 0m i n 、 8 0m i n 。结 合 此 数 据, 请 你 估 计 该 校全体 住 宿 学 生 每 天 运 动 时 间 的 平 均 值 为 ( ) 。 A. 9 8m i n B . 9 0m i n C . 8 8m i n D. 8 5m i n 分析: 根据题中的数据信息, 分别确定各 层中对应的样本容量与样本平均数, 利 用 分 层随机抽样的样本平均数公式来确定并估计 总体的平均数。 解: 根据分层随 机 抽 样 可 知 抽 取 男 生 人 数为1 0 0 × 4 0 0 4 0 0 + 6 0 0=4 0 , 抽 取 女 生 人 数 为 1 0 0 × 6 0 0 4 0 0 + 6 0 0=6 0 , 则 样 本 的 平 均 数 x= 4 0 1 0 0 × 1 0 0+ 6 0 1 0 0×8 0=8 8( m i n ) 。由 此 可 估 计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值 为8 8m i n 。应选 C 。 本题 是 利 用 层 数 为 2 的 分层随 机 抽 样 的 样 本 平 均 数 公式求解的, 解题的关键是确定分层随 机 抽 样中各层的样本容量和样本的平均数。 2 . 样本方差的估计 例2 为庆祝中国共产党成立1 0 0周年, 深入推进党史学习教育, 引导干部学史明理、 学史增信、 学史崇德、 学史力 行, 某 中 学 党 支 部组织学校初、 高中两个学部的党员参 加 了 全省教育系统党史知识竞赛活动, 其中 初 中 部2 0名党员竞赛成绩的平均分为a, 方差为 2 ; 高中部5 0名党员竞赛成绩的平均分为b, 方差为 1 2 5。若a= b, 则该学校全体参赛党员 竞赛成绩的方差为( ) 。 A. 1 6 7 B . 2 1 1 0 C . 4 3 2 0 D. 3 3 1 4 分析: 根 据 题 中 的 数 据, 从 实 际 问 题 入 手, 利用方差计算公式或分层随机抽样 的 样 本方差公式, 结合不同的方法来计算总 体 方 差。 解法1 : ( 直接法) 设初中部2 0名党员竞 赛成绩分别为x 1, x 2, …, x 2 0, 高中部5 0名党 员竞赛成绩分别为y 1, y 2, …, y 5 0。 根据题意得1 2 0×[ ( x 1- a) 2+( x 2- a) 2 +…+( x 2 0- a) 2] =2 , 即( x 1- a) 2+( x 2- 4 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年5月 全科互知
a) 2+…+( x 2 0- a) 2= 4 0 ; 1 5 0×[ ( y 1- b) 2+ ( y 2- b) 2+…+( y 5 0- b) 2] =1 2 5, 即( y 1- b) 2 +( y 2- b) 2+…+( y 5 0- b) 2= 1 2 0 。 因为a= b, 所以该学校全体参赛党员竞 赛成绩的平均分为a, 所以该学校全体 参 赛 党员竞赛成绩的方差为s 2= 1 7 0×[ ( x 1- a) 2 +( x 2- a) 2+ … +( x 2 0- a) 2+( y 1- a) 2+ ( y 2-a) 2 + … + ( y 5 0 -a) 2] = 1 7 0× ( 4 0+ 1 2 0 ) = 1 6 7。应选 A。 解法2 : ( 公 式 法) 由 题 意 知 涉 及 的 分 层 随机抽样为2层, 初中部的样本容量为2 0 , 平 均分 为 a, 方 差 为 2 ; 高 中 部 的 样 本 容 量 为 5 0 , 平均分为b, 方差为1 2 5。因为a= b, 所以 该学校 全 体 参 赛 党 员 竞 赛 成 绩 的 平 均 分 为 a, 所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差 为 s 2 = 2 0 2 0 + 5 0 × [ 2 + ( a - a ) 2 ]+ 5 0 2 0 + 5 0 × 1 2 5+( b- a) 2 = 1 6 7。应选 A。 利用 方 差 计 算 公 式 或 分 层随机 抽 样 的 样 本 方 差 公 式 即可求解, 只是利用后者的公式更加简 单 快 捷。解答本题的关键是理解和掌握分层随机 抽样的样本方差及其应用。 3 . 综合应用问题 例3 某校采用分层随机抽样的方法采 集了高一、 高二、 高三年级学 生 的 身 高 状 况, 部分调查数据如表1所示。 表1 项目 样本容量 样本平均数 样本方差 高一 1 0 0 1 6 7 1 2 0 高二 1 0 0 1 7 0 1 5 0 高三 1 0 0 1 7 3 1 5 0 则总样本的方差为 。 分析: 根据题中给出的数据信息, 分别求 出各层对应的样本平均数与样本方差, 再 利 用相应的公式计算总样本的方差s 2。 解: 根据表中的数据, 可得总样本的平均 数x=1 0 0 3 0 0×1 6 7+1 0 0 3 0 0×1 7 0+1 0 0 3 0 0×1 7 3= 1 7 0 , 所以所求总样本的方差s 2=1 0 0 3 0 0×[ 1 2 0 +( 1 6 7 - x) 2] +1 0 0 3 0 0×[ 1 5 0 +( 1 7 0 -x) 2] + 1 0 0 3 0 0 ×[ 1 5 0 +( 1 7 3 - x) 2] = 1 4 6 。 涉及 平 均 数 与 方 差 的 综 合应用问题, 关键是确定分层 随机抽样的层数, 再结合相关的计算公 式 加 以分析与处理。 编者的话: 分层 随 机 抽 样 的 平 均 数 与 方 差是新教材的新增内容, 在实际学习过程中, 要注意正确理解概念的内涵与实质, 并 掌 握 层数为2的分层随机抽样的平均数与方差的 公式应用, 从而解决统计问题中的一些 相 关 数据分析与决策判断。 1 . 如果一组数据x 1, x 2, …, x n 的平均数 是x, 方 差 是s 2, 则 另 一 组 数 据 3 x 1 + 2, 3 x 2+ 2, …, 3 x n + 2的平均数和方差分 别是( ) 。 A. 3 x, s 2 B . 3 x+ 2, s 2 C . 3 x+ 2, 3 s 2 D. 3 x+ 2, 3 s 2+ 2 6 s + 2 提示: 由x 1, x 2, …, x n 的平均数是x, 方 差 是 s 2, 可 得 3x 1 + 2,3x 2 + 2, …, 3 x n+ 2 的 平 均 数 是 3x + 2, 方 差 是 ( 3) 2 s 2= 3 s 2。应选 C 。 2 . 一组观察值4 , 3 , 5 , 6出现的次数分别 是3 , 2 , 4 , 2 , 则样本平均数为( ) 。 A. 4 . 5 5 B . 4 . 5 C . 1 2 . 5 D. 1 . 6 4 提示: 由 题 意 可 得 样 本 平 均 数 x = 4 × 3 + 3 × 2 + 5 × 4 + 6 × 2 3 + 2 + 4 + 2 ≈4 . 5 5 。应选 A。 作者单位: 甘肃省会宁县第四中学 ( 责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年5月 全科互知
■刘德龙 事件 A( 或 B) 是否发生对事件 B( 或 A) 发生的概率没有影响, 这样的两个事件 称 为 相互独立事件, 简称 A, B 独立。两事件独立 与两事件互斥是两个不同的概念。 聚焦一: 相互独立事件的判断 例1 ( 多选题) 下列各对事件中, M , N 是相互独立事件的为( ) 。 A. 掷1枚质地均匀的骰子一次, 事件 M 为“ 出现的点数为奇数” , 事件 N 为“ 出 现 的 点数为偶数” B . 袋中有5个白球, 5个黄球, 除颜色外 完全相同, 依次不放 回 地 摸 两 次, 事 件 M 为 “ 第1次摸到白球” , 事件 N 为“ 第 2 次 摸 到 白球” C . 分别抛掷2枚相同的硬币, 事件 M 为 “ 第1枚为正面” , 事件 N 为“ 两枚结果相同” D. 一枚硬币掷两次, 事件 M 为“ 第一次 为正面” , 事件 N 为“ 第二次为反面” 对于 A, M , N 是互斥事件, 不是 相 互 独 立 事 件。 对 于 B , M , N 不是相互独立事件。对于 C , P( M ) = 1 2, P( N) = 1 2, P ( MN ) = 1 4, P ( MN ) = P( M) ·P( N) , 因 此 M , N 是 相 互 独 立 事 件。对于 D, 第一次为正面, 不影响对第二次 的结果, 因 此 M , N 是 相 互 独 立 事 件。应 选 C D。 评注: 对 于 事 件 M , N, 若 P ( MN ) = P( M) ·P( N) , 则 M , N 是相互独立事件。 例2 ( 多选题) 袋内有3个白球和2个 黑球, 从中有放回地摸球, 用 A 表示“ 第一次 摸到白球” , 如果“ 第二次摸到白球” 记为 B, 其对立事件记为C, 则( ) 。 A. A 与B 相互独立 B . A 与C 相互独立 C . A 与C 互斥 D. A 与B 互斥 由于摸球过程是有放回的, 所以第 一 次 摸 球 的 结 果 对 第 二 次摸球的结果没有影响, 所以事件 A 与B, A 与C 均相互独立, 且 A 与B, A 与C 均有可 能同时发生, 说明 A 与B, A 与C 均不互斥。 应选 A B 。 评注: 两个事件 是 否 相 互 独 立 的 两 种 判 断方法: 直接法, 由事件本身的性质直接判断 两个 事 件 发 生 是 否 相 互 影 响; 公 式 法, 若 P( A B) =P( A) ·P( B) , 则事件 A, B 为相 互独立事件。 聚焦二: 相互独立事件同时发生的概率 例3 根 据 资 料 统 计, 某 地 车 主 购 买 甲 种保险的概 率 为 0 . 5 , 购 买 乙 种 保 险 的 概 率 为0 . 6 , 购 买 甲、 乙 保 险 相 互 独 立, 各 车 主 间 相互独立。则车主至少购买 甲、 乙 两 种 保 险 中的一种的概率为 。 记事 件 A 为 “ 车 主 购 买 甲 种保险” , 事件 B 为“ 车主购买乙 种保险” , E 表示事件“ 至少购买甲、 乙两种保 险中的一种” 。 ( 方法1 ) 事件E 包括A B, A B, A B, 且它 们彼此为互斥事件。 所以 P ( E) =P ( A B +AB +A B) = P( A B) +P( AB) +P( A B) =0 . 5×0 . 6+ 0 . 5 × 0 . 4 + 0 . 5 × 0 . 6 = 0 . 8 。 ( 方法2 ) 事件“ 至少购买甲、 乙两种保险 中的一种” 与事件“ 甲、 乙两种保险都不购买” 为对立事件。 所以 P ( E) =1-P ( AB) =1- ( 1- 0 . 5 ) ×( 1 - 0 . 6 ) = 0 . 8 。 评注: 求相互独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 的两个步骤: 先确定各事件之间是相互 独 立 6 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年5月 全科互知
的; 求出每个事件的概率, 再求积。 例4 已知事件 A, B, C 相互独立, 如果 P( A B) =1 6, P( B C) =1 8, P( A B C) =1 8, 则 P( B) = , P( A B) = 。 由已知 条 件 可 知 P( A B C) =P( A B) ·P( C) = 1 6P( C) = 1 8, 所以 P( C) =3 4, 所以 P( C) =1 4。 因为 P( B C) =P( B) ·P( C) =1 8, 所以 P( B) =1 2, 即 P( B) =1 2。 又因为P( A B) =1 6, 所以 P( A) =1 3, 所 以P( A B) = P( A) ·P( B) =[ 1-P( A) ] · P( B) =1 3。 评注: 事件 A, B 相互独立, 则事件 A 与 B、 A 与B、 A 与B 也相互独立。 聚焦三: 相互独立事件概率的综合应用 例5 甲、 乙 两 名 同 学 参 加 一 项 射 击 比 赛游戏, 其中任何一人每射击一次命中 目 标 得2分, 未命中目标得0分。若甲、 乙两人射 击的命中率分别为3 5和p, 且甲、 乙两人各射 击一次得分之和为2的概率为9 2 0 , 假设甲、 乙 两人射击互不影响, 则p 的值为 ; 两人各 射击一次得分之和不少于2的概率为 。 设“ 甲射击一次, 命中目标” 为事件 A, “ 乙射击一次, 命中目 标” 为事件 B, 则“ 甲射击一次, 未命中目标” 为事件 A, “ 乙射击一次, 未命中目标” 为事件 B, 所以 P( A) =3 5, P( A) = 1 -3 5=2 5。因 为 P( B) =p, P( B) =1-p, 所 以 P( A) · P( B) +P ( A) ·P ( B) = 9 2 0 , 即 3 5 × ( 1- p) +2 5× p=9 2 0 , 解得p=3 4。 因为得分之和不少于2的对立事件为得 分之和 为 0 , 所 以 所 求 概 率 为 1-P ( A) · P( B) = 1 -2 5×1 4=9 1 0 。 评注: 正难则反, 若所求事件的概率正面 计算较烦琐时, 可以从对立面入手求解。 例6 某田径队有3名短跑运动员, 根据 平时训 练 情 况 统 计 甲, 乙, 丙 3 人 1 0 0m 跑 ( 互不影响) 的成绩在1 3 s内( 称为合格) 的概 率分别为 2 5, 3 4, 1 3, 若对这 3 名短跑运动员 的1 0 0m 跑的成绩进行分析。 ( 1 ) 求3人都合格的概率。 ( 2 ) 求3人都不合格的概率。 ( 3 ) 求出现几人合格的概率最大。 设甲, 乙, 丙 3 人 1 0 0m 跑 的成 绩 合 格 分 别 为 事 件 A, B, C, 显然事件 A, B, C 相 互 独 立, 且 P( A) = 2 5, P( B) =3 4, P( C) =1 3。设恰有k 人合格 的概率为 P k( k= 0 , 1 , 2 , 3 ) 。 ( 1 ) 3人都合格的概率为 P 3=P( A B C) =P( A) P( B) P( C) =2 5×3 4×1 3=1 1 0 。 ( 2) 3 人 都 不 合 格 的 概 率 为 P 0 = P( ABC) =P( A) P( B) P( C) = 1 -2 5 × 1 -3 4 × 1 -1 3 =1 1 0 。 ( 3)恰 有 2 人 合 格 的 概 率 为 P 2 = P( A B C) +P( A B C) +P( A B C) =2 5×3 4× 1 -1 3 + 2 5 × 1 -3 4 × 1 3 + 1 -2 5 × 3 4×1 3=2 3 6 0 。所 以 恰 有 1 人 合 格 的 概 率 为 P 1=1-P 0-P 2-P 3=1- 1 1 0-2 3 6 0- 1 1 0= 2 5 6 0 =5 1 2 。所以 P 1>P 2>P 3。 故恰有1人合格的概率最大。 评注: 求较复杂事件的概率的几个步骤: 列出题中涉及的各个事件, 并且用适当 的 符 号表示; 分清事件之间的关系; 根据事件之间 的关系, 准确选取概率公式进行计算。 作者单位: 湖北 省 巴 东 县 民 族 职 业 高 级 中学 ( 责任编辑 郭正华) 7 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年5月 全科互知
■韩 萍 统计图表是高考的常考点, 每年高考都 有这方面的命题。高考常考 的 统 计 图 表 有: 等高条形图、 扇形统计图、 频率折线图和频率 分布直方图等。下面举例分 析, 供 同 学 们 学 习与参考。 一、 等高条形图 例1 已知某 学 校 高 二 年 级 有 男 生 5 0 0 人、 女生4 5 0人, 调 查 该 年 级 全 部 男、 女 学 生 是否喜欢徒步运动而得到的等高条形 图, 如 图1所示。现从所有喜欢徒步的学生中按分 层抽样的方法抽取2 4人, 则抽取的女生人数 为 。 图1 由图可知, 喜欢徒步的男生 人数为5 0 0×0 . 6=3 0 0 , 喜 欢 徒 步的女生 人 数 为 4 5 0×0 . 4=1 8 0 , 则 女 生 应 抽取的人数为1 8 0 × 2 4 3 0 0 + 1 8 0 = 9 。 评注: 等高条形 图 可 以 清 楚 地 反 映 各 部 分的数量。 二、 扇形统计图 例2 某企业三个分厂生产同一种电子 产品, 三个分厂的产量分布 如 图 2 所 示。现 用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共 抽取1 0 0件进行使用寿命的 测 试, 测 试 结 果 为第一、 二、 三分厂取出的产品的平均使用寿 命分别为1 0 2 0 h 、 9 8 0 h 、 1 0 3 0 h , 估计这个企 业生产的产品的平均使用寿命为 h 。 图2 因为共抽取产品1 0 0件, 所 以 第 一 分 厂 应 抽 取 的 件 数 为 1 0 0 × 5 0 %=5 0 , 第 二 分 厂 应 抽 取 的 件 数 为 1 0 0 × 2 0 %=2 0 , 第 三 分 厂 应 抽 取 的 件 数 为 1 0 0 × 3 0 % =3 0 。故该产品的平均使用寿命 为 1 1 0 0× ( 10 2 0×5 0+9 8 0×2 0+10 3 0× 3 0 ) = 1 0 1 5 ( h ) 。 评注: 扇形统计 图 可 以 清 楚 地 看 出 各 部 分所占的百分比。 三、 频率折线图 例3 ( 多选题) 某高校土木工程系大四 年级 5 5 名学生期末考试专业成绩的频率折 线图, 如图3所示, 其中组距为1 0 , 且本次考 试中最低分为5 0分, 最高分为1 0 0分。根据 图中所提供的信息, 则下列结论中错误 的 是 ( ) 。 图3 A. 7 5分的人数为2 0 B . 1 0 0分的人数比5 0分的人数多 C . 成绩落在[ 7 0 , 9 0 ) 内的人数为3 5 D. 成绩落在[ 7 5 , 8 5 ) 内的人数为3 5 8 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年5月 全科互知