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价值引领, 素养导向, 能力为重, 知识为基 — — —评析2 0 2 2年离散型随机变量高考试题 ■河南省许昌市胡银伟高中数学名师工作室 胡银伟 2 0 2 3年伊始, 由中国高考报告学术委员 会编撰的2 0 2 3年度高考蓝皮书《 中国高考报 告( 2 0 2 3 ) 》 发布。该报告围绕核心价值、 关键 能力、 情境载体三条主线, 指明新高考背景下 高考命题的“ 价值引领、 素养导向、 能力为重、 知识为基” 总体要求。报告指出在高考评价体 系指导下的高考 命 题, 呈 现 出“ 无 价 值, 不 入 题; 无思维, 不命题; 无情境, 不成题” 的典型特 征。下面我们结合以上三个特征对2 0 2 2年高 考的离散型随机变量试题进行评析。 一、无价值,不入题 2 0 2 2年离 散 型 随 机 变 量 内 容 的 高 考 命 题, 紧扣时代主题与时代精神, 加强了对学生 理想信念、 道德品质、 奋斗精 神、 爱 国 情 怀 等 方面的引导和考查, 从而将立德树人这 一 核 心价值融入高考试题中。 例 1 【 2 0 2 2 年 新 高 考 全 国 Ⅰ 卷 第 2 0 题】 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾 病与当地居民的卫生习惯( 卫生习惯分为良 好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的 病例中随机调查了 1 0 0 例( 称为病例组) , 同 时在未患该疾病的人群中随机调查了1 0 0例 ( 称为对照组) , 得到如下数据( 表1 ) 。 表1 不够良好 良好 病例组 4 0 6 0 对照组 1 0 9 0 ( 1 ) 能否有9 9 %的把握认为患该疾病群 体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? ( 2 ) 从该地的人群中任选一人, A 表示事 件“ 选到的人卫生习惯不够良好” , B 表示事 件 “ 选 到 的 人 患 有 该 疾 病 ” 。P( B | A) P( ?? B | A) 与 P( B | ?? A) P( ?? B | ?? A) 的比值是卫生习惯不够良好对患该 疾病风险程度的一项度量指标, 记该指标为R。 ( i ) 证明: R=P( A | B) P( ?? A | B) ·P( ?? A | ?? B) P( A | ?? B) ; ( i i ) 利 用 该 调 查 数 据, 给 出 P ( A| B) , P( A | ?? B) 的估计值, 并利用( i ) 的结果给出 R 的估计值。 K 2= n( a d- b c ) 2 ( a+ b) ( c+ d) ( a+ c ) ( b+ d) 。 表2 P( K 2≥ k) 0 . 0 5 0 0 . 0 1 0 0 . 0 0 1 k 3 . 8 4 1 6 . 6 3 5 1 0 . 8 2 8 思路点拨: 本题两大问三小问, 三个问题 层层递进, 体现了提出问题、 探究问题和解决 问题的过程。第( 1 ) 问 可 由 所 给 数 据 结 合 公 式求出 K 2 的值, 将其与临界值比较大小, 由 此确定: 患疾病群体与未患疾病群体的 卫 生 习惯有差异。第( 1 ) 问 说 明 卫 生 习 惯 会 影 响 患病率, 但并没有回答问题: 影 响 程 度 如 何? 试题的第( 2 ) 问就是为回答此问题而设计的, 其中第( i ) 问为第( i i ) 问作铺垫, 第( i ) 问根据 定义结合条件概率公式即可完成证明; 第( i i ) 问, 可根据( i ) , 结合已知数据求出 R 的值。 解析: ( 1 ) 由已知条件可得: K 2= n( a d- b c ) 2 ( a+ b) ( c+ d) ( a+ c ) ( b+ d) = 2 0 0 ( 4 0 × 9 0 - 6 0 × 1 0 ) 2 5 0 × 1 5 0 × 1 0 0 × 1 0 0 = 2 4 。 又 P( K 2≥6 . 6 3 5 ) =0 . 0 1 , 2 4>6 . 6 3 5 , 所以 有 9 9 % 的 把 握 认 为 患 该 疾 病 群 体 与 未 患该疾病群体的卫生习惯有差异。 ( 2 ) ( i ) 因为 R=P( B | A) P( ?? B | A) ·P( ?? B | ?? A) P( B | ?? A) = P( A B) P( A)· P( A) P( A ?? B) ·P( ?? A ?? B) P( ?? A) · P( ?? A) P( ?? A B) , 所以 R=P( A B) P( B)· P( B) P( ?? A B) ·P( ?? A ?? B) P( ?? B) · P( ?? B) P( A ?? B) , 故 R=P( A | B) P( ?? A | B) ·P( ?? A | ?? B) P( A | ?? B) 。 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年4月 全科互知
( i i ) 由题意知 P( A | B) = 4 0 1 0 0 , P( A | ?? B) =1 0 1 0 0 , 又 P( ?? A| B) = 6 0 1 0 0 , P( ?? A| ?? B) = 9 0 1 0 0 , 所以 R=P( A | B) P( ?? A | B) ·P( ?? A | ?? B) P( A | ?? B) = 6 。 试题评析: 本题 创 设 出 数 学 探 索 创 新 情 境和生活实践情境, 具有较好的创新性, 能很 好地体现概率统计知识与方法的应用 价 值。 本题在提高同学们学习统计学知识的 兴 趣, 培养其数学应用意识, 提升其解决实际 问 题 的能力 等 方 面 都 有 着 积 极 的 引 导 作 用。 此 外, 本题体现了党和国家对人民健康的 深 切 关怀及新时代高考改革的精神, 从而体 现 高 考“ 立德 树 人、 服 务 选 才、 引 导 教 学” 的 核 心 功能。 二、无思维,不命题 2 0 2 2年离 散 型 随 机 变 量 内 容 的 高 考 命 题, 突出了对同学们的关键能力、 思维过程和 思维品质的考查, 从而加强对信息获取 与 加 工、 逻辑推理与论证、 科学探 究 与 思 维 建 模、 批判性思维与创新思维以及语言组织与表达 等能力的考查。 例 2 【 2 0 2 2年新高考全国 Ⅱ 卷第 1 9 题】 在某地区进行流行病学调查, 随机调查了 1 0 0位某种疾病患者的年龄, 得到的样本数据 的频率分布直方图, 如图1所示。 图1 ( 1 ) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄 ( 同一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代表) 。 ( 2 ) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄 位于区间[ 2 0 , 7 0 ) 的概率。 ( 3 ) 已 知 该 地 区 这 种 疾 病 的 患 病 率 为 0 . 1 %, 该地区年龄位于区间[ 4 0 , 5 0 ) 的人口占 该地区总人口的1 6 %。从该地区中任选一人, 若此人的年龄位于区间[ 4 0 , 5 0 ) , 求此人患这 种疾病的概率。( 以样本数据中患者的年龄位 于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间 的概率, 精确到0 . 0 0 0 1 。 ) 思路点拨: 某种疾病患者的年龄分布有何 规律? 这是流行病学中需要重点研究的问题。 本题以此为情境创设问题, 既有现实意义, 又 能很好地体现数学学科的应用价值。本题考 查的内容涉及频率分布 直 方 图、 样 本 估 计 总 体、 条件概率等, 很好地体现概率统计知识与 方法的应用价值。本题的第( 1 ) 问可通过对频 率分布直方图的解读得所求, 第( 2 ) 问根据对 立事件的概率公式较易解答, 第( 3 ) 问可根据 条件概率公式进行解答。 解析: ( 1 ) 平均年龄?? x=( 5 × 0 . 0 0 1 + 1 5 × 0 . 0 0 2 + 2 5 × 0 . 0 1 2 + 3 5 × 0 . 0 1 7 + 4 5 × 0 . 0 2 3 + 5 5 ×0 . 0 2 0+6 5×0 . 0 1 7+7 5×0 . 0 0 6 +8 5× 0 . 0 0 2 ) × 1 0 = 4 7 . 9 ( 岁) 。 ( 2 ) 设事件 A 为“ 一人患这种疾病的年龄 在区间[ 2 0 , 7 0 ) ” 。 所以 P( A) =1-P( ?? A) =1-( 0 . 0 0 1+ 0 . 0 0 2 + 0 . 0 0 6 + 0 . 0 0 2 ) × 1 0 = 1 - 0 . 1 1 = 0 . 8 9 。 ( 3 ) 设事件B 为“ 任选一人年龄位于区间 [ 4 0 , 5 0 ) ” , 事件C 为“ 从该地区中任选一人患 这种疾病” 。 则由已知得, P( B) = 1 6 %= 0 . 1 6 , P( C) = 0 . 1 %= 0 . 0 0 1 , P( B | C) = 0 . 0 2 3 × 1 0 = 0 . 2 3 。 则由条件概率 公 式 可 得, 从 该 地 区 中 任 选一人, 若此人的年龄位于区间[ 4 0 , 5 0 ) , 此 人患这种疾病的概率为 P( C | B) =P( B C) P( B) =P( C) P( B | C) P( B) = 0 . 0 0 1 × 0 . 2 3 0 . 1 6 = 0 . 0 0 1 4 3 7 5≈0 . 0 0 1 4 。 试题评析: 本题 通 过 创 设 生 活 实 践 情 境 来考查概率统计的基础知识, 问题的解 决 能 很好地 体 现 概 率 统 计 知 识 与 方 法 的 应 用 价 值。本题中三问都要求同学们能从频率分布 直方图中读出所需的信息, 利用频率分 布 直 方图认识和估计总体的分布规律, 估计 总 体 的数字特征等。本题有效地考查了同学们的 数据处理能力、 应用意识和创新能力, 考查了 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年4月 全科互知
大家数学抽象、 数学建模等学科素养, 同时通 过增 加 思 维 强 度 来 达 成 选 拔 创 新 人 才 的 目的。 三、无情境,不成题 2 0 2 2年离 散 型 随 机 变 量 内 容 的 高 考 命 题, 紧密结合社会热点问题、 经济社会发展成 就、 科学技术进步、 生产生活实际等创设真实 情境, 增强试题的开放性与探究性, 从而考查 同学们灵活运用所学知识方法发现问 题、 分 析问题和解决实际问题的能力。 例 3 【 2 0 2 2 年全国乙卷理科卷第 1 0 题】 某棋手与甲、 乙、 丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果相互独立。已 知 该 棋 手 与 甲、 乙、 丙比赛获胜的概率分别为 p 1, p 2, p 3, 且 p 3> p 2>p 1> 0 。记该棋手连胜两盘的概率 为p, 则( ) 。 A. p 与 该 棋 手 和 甲、 乙、 丙 的 比 赛 次 序 无关 B . 该棋手在第二盘与甲比赛, p 最大 C . 该棋手在第二盘与乙比赛, p 最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛, p 最大 思路点拨: 本题 以 同 学 们 熟 悉 的 棋 类 比 赛这一生活实践情境设计概率问题, 考 查 独 立条件下多次随机事件发生的概率, 是 伯 努 利试验的推广, 主要考查同学们对基本 独 立 事件概率的掌握。解答时大 家 首 先 要 分 析、 理解比赛规则, 再考虑该棋手连胜两盘 的 各 种可能性。该棋手连胜两盘, 则 第 二 盘 为 必 胜盘, 分别求: 该棋手在第二盘与甲比赛且连 胜两盘的概率p甲 , 该棋手在第二盘与乙比赛 且连胜两盘的概率p乙 , 该棋手在第二盘与丙 比赛且连 胜 两 盘 的 概 率 p丙 , 并 对 三 者 进 行 比较。 解析: 该棋手连胜两盘, 则第二盘为必胜 盘。记该棋手在第二盘与甲 比 赛, 比 赛 顺 序 为乙甲丙、 丙甲乙的概率均为1 2, 此时连胜两 盘的概率为p甲 。 则p甲 = 1 2 [ ( 1-p 2) p 1 p 3 +p 2 p 1 ( 1- p 3) ] +1 2[ ( 1-p 3) p 1 p 2+p 3 p 1( 1-p 2) ] = p 1( p 2+ p 3) - 2 p 1 p 2 p 3。 记该棋手在第 二 盘 与 乙 比 赛, 且 连 胜 两 盘的概率为p乙 。 则p乙 =( 1 - p 1) p 2 p 3+p 1 p 2( 1 -p 3) = p 2( p 1+ p 3) - 2 p 1 p 2 p 3。 记该棋手在第 二 盘 与 丙 比 赛, 且 连 胜 两 盘的概率为p丙 。 则p丙 =( 1 - p 1) p 3 p 2+p 1 p 3( 1 -p 2) = p 3( p 1+ p 2) - 2 p 1 p 2 p 3。 因为p甲 - p乙 = p 1( p 2+ p 3) - 2 p 1 p 2 p 3- [ p 2( p 1+ p 3) - 2 p 1 p 2 p 3] =( p 1- p 2) p 3< 0 , 并且 p乙 -p丙 =p 2 ( p 1 +p 3) -2 p 1 p 2 p 3 - [ p 3( p 1+ p 2) - 2 p 1 p 2 p 3] =( p 2- p 3) p 1< 0 , 所以p甲 < p乙 , p乙 < p丙 。 则p 与该棋手与甲、 乙、 丙的比赛次序有 关, 且该棋手 在 第 二 盘 与 丙 比 赛 时, p 最 大, 故选 D。 试题评析: 数学源于生活, 服务生活, 本 题以棋类比赛为载体, 启发同学们在生 活 中 发现数 学 问 题, 并 用 所 学 知 识 来 解 决 问 题。 本题蕴含的概率思想可以追溯到经典的伯努 利试验, 本题基于具体问题, 易 于 理 解, 充 分 体现了高考命题的创新性。 例 4 【 2 0 2 2年新高考全国 Ⅱ 卷第 1 3 题】 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ( 2 , σ 2) , 且 P( 2 2 . 5 ) = 。 思路点拨: 本题 以 正 态 分 布 为 情 境 设 计 问题, 正态分布是概率理论与应用中最 重 要 的模型, 在数学、 物理及工程等领域都有着非 常重要的应用, 在概率统计学的许多方 面 有 着重大的影响力。本题是考查正态分布随机 变量的具体性质与运算, 根据正态分布 曲 线 的性质可解答。 解析: 因为 X~N( 2 , σ 2) , 所以P( X< 2 ) = P( X> 2 ) = 0 . 5 。因此, P( X> 2 . 5 ) =P( X> 2 ) - P( 2 ![]()
间就近似服从正态分布。 真题演练: 1 . 【 2 0 2 2年天津卷第1 3题】 5 2张扑克牌 中没有大小王, 无放回地抽取两次, 则两次都 抽到 A 的概率为 ; 已知第一次抽到的是 A, 则第二次抽取 A 的概率为 。 解析: 由 题 意, 设 第 一 次 抽 到 A 的 事 件 为B, 第二次抽到 A 的事件为C。 则 P( B C) = 4 5 2× 3 5 1= 1 2 2 1 , P( B) = 4 5 2 =1 1 3 , P( C | B) =P( B C) P( B)= 1 2 2 1 1 1 3 =1 1 7 。 2 . 【 2 0 2 2 年 浙 江 卷 第 5 题】 现 有 7 张 卡 片, 分别写上数字1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 。从这7张 卡片中随机抽取 3 张, 记所抽取卡片上数字 的最小值为ξ, 则 P( ξ=2 ) = , E( ξ) = 。 解析: 从写 有 数 字 1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 7 张卡片中任取3张共有 C 3 7 种取法, 其中所抽 取的卡片 上 的 数 字 的 最 小 值 为 2 的 取 法 有 C 1 4+C 1 2C 2 4 种, 所以P( ξ = 2 ) = C 1 4+C 1 2C 2 4 C 3 7 = 1 6 3 5 。 由已知可得ξ 的取值有1 , 2 , 3 , 4 。 P( ξ = 1 ) = C 2 6 C 3 7 =1 5 3 5 , P( ξ=2 ) =1 6 3 5 , P( ξ= 3 ) =C 2 3 C 3 7=3 3 5 , P( ξ= 4 ) =1 C 3 7=1 3 5 。 所以 E( ξ ) =1×1 5 3 5+2×1 6 3 5+3× 3 3 5+ 4 ×1 3 5 = 1 2 7。 3 . 【 2 0 2 2 年 全 国 甲 卷 理 科 第 1 9 题】 甲、 乙两个学校进行体育比赛, 比赛共设三 个 项 目, 每个项目胜方得1 0分, 负方得0分, 没有 平局。三个项目比赛结束后, 总 得 分 高 的 学 校获得冠军。已知甲学校在三个项目中获胜 的概率分别 为 0 . 5 , 0 . 4 , 0 . 8 , 各 项 目 的 比 赛 结果相互独立。 ( 1 ) 求甲学校获得冠军的概率; ( 2 ) 用 X 表示乙学校的总得分, 求 X 的 分布列与期望。 解析: ( 1 ) 设甲在三个项目中获胜的事件 依次记为 A, B, C, 所以甲学校获得冠军的概 率为 P=P( A B C) +P( ?? A B C) +P( A ?? B C) + P( A B ?? C) =0 . 5×0 . 4×0 . 8+0 . 5×0 . 4× 0 . 8 + 0 . 5 ×0 . 6×0 . 8+0 . 5×0 . 4×0 . 2= 0 . 1 6 + 0 . 1 6 + 0 . 2 4 + 0 . 0 4 = 0 . 6 。 ( 2 ) 依 题 可 知, X 的 可 能 取 值 为 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 。 所以 P ( X =0) =0 . 5×0 . 4×0 . 8= 0 . 1 6 , P( X =1 0 ) =0 . 5×0 . 4×0 . 8+0 . 5× 0 . 6 × 0 . 8 + 0 . 5×0 . 4×0 . 2=0 . 4 4 , P( X = 2 0 ) = 0 . 5×0 . 6×0 . 8+0 . 5×0 . 4 ×0 . 2+ 0 . 5 × 0 . 6 × 0 . 2=0 . 3 4 , P( X =3 0 ) =0 . 5× 0 . 6 × 0 . 2 = 0 . 0 6 。 X 的分布列如表3 。 表3 X 0 1 0 2 0 3 0 P 0 . 1 6 0 . 4 4 0 . 3 4 0 . 0 6 期 望 E ( X) =0×0 . 1 6+1 0×0 . 4 4+ 2 0 × 0 . 3 4 + 3 0 × 0 . 0 6 = 1 3 。 4 . 【 2 0 2 2年北京卷】 在校运动会上, 只有 甲、 乙、 丙三名同学参加铅球 比 赛, 比 赛 成 绩 达到9 . 5 0 m 以上( 含9 . 5 0 m) 的同学将获得 优秀奖。为预测获得优秀奖的人数及冠军得 主, 收集了甲、 乙、 丙三名同学 以 往 的 比 赛 成 绩, 并整理得到如下数据( 单位: m) : 甲: 9 . 8 0 , 9 . 7 0 , 9 . 5 5 , 9 . 5 4 , 9 . 4 8 , 9 . 4 2 , 9 . 4 0 , 9 . 3 5 , 9 . 3 0 , 9 . 2 5 ; 乙: 9 . 7 8 , 9 . 5 6 , 9 . 5 1 , 9 . 3 6 , 9 . 3 2 , 9 . 2 3 ; 丙: 9 . 8 5 , 9 . 6 5 , 9 . 2 0 , 9 . 1 6 。 假设用频率估计概率, 且甲、 乙、 丙的比 赛成绩相互独立。 ( 1 ) 估计甲在校运动会铅球比赛中 获 得 优秀奖的概率; ( 2 ) 设 X 是甲、 乙、 丙在校运动会铅球比 赛中获得优秀奖的总人数, 估计 X 的数学期 望E( X) ; ( 3 ) 在校运动会铅球比赛中, 甲、 乙、 丙谁 获得冠军的概率估计值最大? ( 结论不 要 求 证明) ( 下转第9页) 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年4月 全科互知
探讨离散型随机变量的两种“分布” ■河南省商丘市第一高级中学 王 威 离散型随机变量及其分布是高中数学的 重要知识, 上承必修课程中的概率内容, 以排 列组合为工具进行分析与运算, 该部分 内 容 是发展和提升学生的数学建模、 数学运算、 数 据分析等核心素养的良好素材。教材中对离 散型随机变量, 主要研究其分布列及数 字 特 征, 并对二项分布和超几何分布进行重 点 研 究。通过用随机变量描述和 分 析 随 机 试 验, 让同学们学会解决一些简单的实际问 题, 进 一步体会概率模型的作用及概率思想和方法 的特点。下面着重探讨二项分布和超几何分 布的相关知识。 一、 n 重伯努利试验 1 . n 重伯 努 利 试 验: 将 一 个 伯 努 利 试 验 独立重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验。 2 . n 重伯努利试验的共同特征: ( 1 ) 同一个伯努利试验重复做n 次; ( 2 ) 各次试验的结果相互独立。 二、二项分布 1 . 二项分布: 一般地, 在n 重伯努利试验 中, 设 每 次 试 验 中 事 件 A 发 生 的 概 率 为 p( 0 < p< 1 ) , 用 X 表示事件A 发生的次数, 则 X 的 分 布 列 为 P ( x =k) =C k n p k ( 1- p) n- k, k= 0 , 1 , 2 , …, n。 如果随机 变 量 X 的 分 布 列 具 有 上 述 的 形式, 则称随机变量 X 服从二项 分 布, 记 作 X~B( n, p) 。 注意两点: ( 1 ) 由二项式定理可知, 二项分布的所有 概率之和为1 ; ( 2 ) 由两点分布与二项分布的关系知, 两 点分布是只进行一次的二项分布。 2 . 有关二项分布的实际应用类问题的求 解步骤。 ( 1 ) 根据题意设出随机变量; ( 2 ) 分析随机变量服从二项分布; ( 3 ) 求出参数n 和p 的值; ( 4 ) 根据二项分布的均值、 方差的计算公 式求解。 解决此 类 问 题 首 先 要 判 断 随 机 变 量 X 是否服从二项分布, 若服从二项分布, 方可代 入相应的公式求解。若随机变量不服从二项 分布, 看能否找出与之相关联的、 并且服从二 项分布的另一个随机变量, 进而求解。 3 . 二项分布的均值与方差。 ( 1 ) 若 X 服从两点分 布, 则 E( X) =p, D( X) = p( 1 - p) 。 ( 2 ) 若 X ~B ( n, p) , 则 E ( X ) =n p, D( x) = n p( 1 - p) 。 三、超几何分布 1 . 超几何分布: 一般地, 假设一批产品共 有 N 件, 其 中 有 M 件 次 品, 从 N 件 产 品 中 随机抽取n 件( 不放回) , 用 X 表示抽取的n 件产品中的次品数, 则 X 的分布列为P( X= k) =C k MC n- k N-M C n N , k=m, m+ 1 , m+ 2 , …, r。 其中, N, M ∈N * , M ≤N, n≤N, m = m a x { 0 , n-N+M} , r=m i n { n, M} 。 如果随机 变 量 X 的 分 布 列 具 有 上 式 的 形式, 那么称随机变量 X 服从超几何分布。 ( 1 ) 在超几何分布的模型中, “ 任取n 件” 应理解为“ 不放回地一次取一件, 连续取件” 。 ( 2 ) 超几何分布的特点: ① 不 放 回 抽 样; ②考察对象分两类; ③实质是古典概型。 2 . 超几何分布的分布列。 求超几何分布的分布列的步骤: ( 1 ) 验证随机变量服从超几何分布, 并确 定 N, M , n 的值; ( 2 ) 根据超几何分布的概率计算公 式 计 算出随机变量取每一个值时对应的概率; ( 3 ) 写出分布列。 四、二项分布与超几何分布的区别与联系 由伯努利试验 得 出 二 项 分 布, 由 古 典 概 型得出超几何分布, 这两个分布的区别 与 联 系如下。 ( 1 ) 若采取有放回抽样, 则随机变量服从 二项分布; 若采用不放回抽样, 则随机变量服 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年4月 全科互知
从超几何分布。 ( 2 ) 二项分布和超几何分布都可以 描 述 随机抽取的n 件产品中次品数的分布规律, 并且二者的均值相同, 但超几何分布的 方 差 较小, 说明超几何分布中随机变量的取 值 更 集中在均值附近。 ( 3 ) 对于 不 放 回 抽 样, 当 n 远 远 小 于 N 时, 每抽取一次后, 对 N 的影响很 小, 此 时, 超几何分布可以用二项分布近似代替。 考点一 二项分布 例 1 若 随 机 变 量 X ~B 4 , 1 2 , 则 E( 2 X+ 1 ) = ( ) 。 A. 2 B . 3 C . 4 D. 5 解析: 因为 X~B 4 , 1 2 , 所以 E( X) = 2 , E( 2 X+ 1 ) = 2 E( X) + 1 = 5 。 选 D。 考点二 超几何分布 例 2 现对某高校6 4名篮球运动员在 多次训练比赛中的得分情况进行统计, 将 每 位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直 方图表示, 如图1 。( 如: 落在区间[ 1 0 , 1 5 ) 内 的频 率 / 组 距 为 0 . 0 1 2 5 ) 规 定 分 数 在 [ 1 0 , 2 0 ) 、 [ 2 0 , 3 0 ) 、 [ 3 0 , 4 0 ) 上的运动员分别为三 级篮球运动员、 二级篮球运动员、 一级篮球运 动员, 现从这批篮球运动员中利用分层 抽 样 的方法选出 1 6 名运动员作为该校的篮球运 动员代表。 图1 ( 1 ) 求a 的值和选出篮球运动员代表中 一级运动员的人数; ( 2 ) 若从该校篮球运动员代表中一 次 选 出3人, 求其中含有一级运动员人数 X 的分 布列; ( 3 ) 若从该校篮球运动员代表中有 放 回 地选3人, 求其中含有一级运动员人数Y 的 期望。 解析: ( 1 ) 由频率分布直方图知, ( 0 . 0 6 2 5 + 0 . 0 5 0 0 + 0 . 0 3 7 5 + a+ 2 × 0 . 0 1 2 5 ) × 5 = 1 , 解得a= 0 . 0 2 5 0 。 其中选出的篮球运动员代表为一级运动 员的概率为( 0 . 0 1 2 5 + 0 . 0 3 7 5 ) × 5 = 0 . 2 5 , 故选 出 篮 球 运 动 员 代 表 中 一 级 运 动 员 有 0 . 2 5 × 1 6 = 4 ( 人) 。 ( 2 ) 由已知可得 X 的可能取值分别为0 , 1 , 2 , 3 。 P( X= 0 ) =C 3 1 2 C 3 1 6= 1 1 2 8 ; P( X= 1 ) =C 2 1 2·C 1 4 C 3 1 6 = 3 3 7 0 ; P( X= 2 ) =C 1 1 2·C 2 4 C 3 1 6 =9 7 0 ; P( X= 3 ) =C 3 4 C 3 1 6= 1 1 4 0 。 X 的分布列如表1 。 表1 X 0 1 2 3 P 1 1 2 8 3 3 7 0 9 7 0 1 1 4 0 ( 3 ) 由题意知Y~B 3 , 1 4 。 故 E( Y) = n p= 3 ×1 4=3 4。 含有一级运动员人数Y 的期望为3 4。 考点三 二项分布与超几何分布综合运用 例 3 春节期间, 某大型商场举办有奖 促销活动, 消费每超过 6 0 0 元( 含 6 0 0 元) 均 可抽奖一次, 抽奖方案有两种, 顾客只能选择 其中的一种。方 案 一: 从 装 有 1 0 个 形 状、 大 小完全相 同 的 小 球 ( 其 中 红 球 2 个, 白 球 1 个, 黑球7个) 的抽奖盒中, 一次性摸出 3 个 球, 其中奖规则为, 若摸到2个红球和1个白 球, 享受免单优惠; 若摸出2个红球和1个黑 球, 则享受5折优惠; 若摸出1个白球和2个 黑球, 则享受7折优惠; 其余情况不打折。 方案二: 从装有 1 0 个形状、 大小完全相 同的小球( 其中红球 3 个, 黑球 7 个) 的抽奖 盒中, 有放回地每次摸取 1 个球, 连摸 3 次, 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年4月 全科互知