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■河南省许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 2 0 2 2年高考全国卷抛物线试题的命制, 遵循《 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 2 0 1 7 年 版, 2 0 2 0年修 订) 》 的 基 本 要 求, 有 如 下 特 点: 着 重基础, 强化对基础知识的 考 查; 强 化 本 质, 凸显思维的灵活性、 深刻性; 彰 显 能 力, 强 化 方法的综合性、 探究性和创造性等, 从而体现 高考数学的选拔功能。 一、夯实基础,界定明确 2 0 2 2年高考全国卷抛物线的命题, 突出 对抛物线的基本概念、 基本定理的考查, 强调 圆锥曲线间的内在联系, 从而引导同学 们 形 成学科的知识体系, 命题具有“ 基础题送分到 位, 中档题多题把关, 难题有效区分” 的明确 的界定。如此命题, 有助于引 导 同 学 们 在 学 习过程中注重数学知识的理解和思维能力的 培养, 从而夯实基础。 例 1 【 2 0 2 2年全国乙卷文数第 6 题】 设 F 为抛物线C: y 2= 4 x 的焦点, 点 A 在抛 物线C 上, 点 B( 3 , 0 ) , 若| A F |=| B F | , 则 | A B | =( ) 。 A. 2 B . 2 2 C . 3 D. 3 2 思路点拨: 由抛物线定义知, 抛物线上的 点到焦点的距离和到准线的距离相等, 可求得 点 A 的横坐标及点 A 坐标, 进而得到答案。 解析: 由 题 意 知, F ( 1 , 0) , 则| A F|= | B F | = 2 , 即点 A 到准线x=- 1的距离为2 , 所以点 A 的横坐标为- 1 + 2 = 1 。 不妨设点 A 在x 轴 上 方, 代 入 得 A( 1 , 2 ) , 所以 | A B | = ( 3 - 1 ) 2+( 0 - 2 ) 2 = 2 2, 选 B 。 评析: 本题考查 抛 物 线 性 质 的 简 单 应 用 及距离公式的应用, 是基础 题。涉 及 抛 物 线 上的点到焦点的距离或到准线的距离 时, 常 相互转化。 例 2 【 2 0 2 2年新高考全国 Ⅰ 卷第 1 1 题】 已知 O 为坐标原点, 点 A( 1 , 1 ) 在抛物线 C: x 2= 2 p y( p>0 ) 上, 过点 B( 0 , -1 ) 的 直 线交抛物线C 于P, Q 两点, 则( ) 。 A. 抛物线C 的准线为y=- 1 B . 直线 A B 与抛物线C 相切 C . | O P | · | O Q | > | O A | 2 D. | B P | · | B Q | > | B A | 2 思路点拨: 求出 抛 物 线 方 程 可 判 断 选 项 A, 联立直 线 A B 与 抛 物 线 的 方 程 求 交 点 可 判断选项 B , 利 用 距 离 公 式 及 弦 长 公 式 可 判 断选项 C 、 D。 解析: 将点 A 的坐标代入抛物线方程得 1 = 2 p, 所以抛物线方程为 x 2= y, 故准线方 程为y=-1 4, 则 A 错误。 k A B = 1 -( - 1 ) 1 - 0 = 2 , 所以直 线 A B 的 方 程 为y=2 x-1 , 联 立 y= 2 x- 1 , x 2= y, 可得x 2- 2 x+ 1 = 0 , 解得x= 1 , 故 B正确。设过B 的直线为 l , 若直线l与y 轴重合, 则直线l与抛物线C 只有一个交点, 所以直线l的斜率存在。不妨设其方程为y =k x- 1 , P ( x 1, y 1 ) , Q( x 2, y 2) ,联 立 y= k x- 1 , x 2= y, 得x 2- k x+ 1 = 0 。 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知
所以 Δ= k 2- 4 > 0 , x 1+ x 2= k, x 1 x 2= 1 , ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 则k> 2或k<- 2 , y 1 y 2=( x 1 x 2) 2= 1 。 | O P |= x 2 1+ y 2 1 = y 1+ y 2 1 , | O Q|= x 2 2+ y 2 2 = y 2+ y 2 2 。 所 以 | O P | · | O Q | = y 1 y 2( 1 + y 1) ( 1 + y 2) = k x 1× k x 2 = | k | > 2 = | O A | 2, 故 C正确。 因为| B P|= 1 + k 2| x 1| , | B Q|= 1 + k 2| x 2| , 所 以| B P|·| B Q|= ( 1+ k 2) | x 1 x 2 | =1 + k 2>5 。而| B A| 2=5 , 故 D 正确。 故选 B C D。 评析: 本题考查抛物线方程的求解、 直线 与抛物线位置关系的综合应用, 同时还 涉 及 了两点 间 的 距 离 公 式 以 及 基 本 不 等 式 的 运 用, 考查运算求解能力, 属于中档题。( 1 ) 求 抛物线标准方程的常用方法是待定系 数 法, 其关键是判断焦点位置、 开口方向, 在方程的 类型已经确定的前提下, 由于标准方程 只 有 一个参数p, 只需一个 条 件 就 可 以 确 定 抛 物 线的标准方程。( 2 ) 研 究 直 线 与 抛 物 线 的 位 置关系与研究直线与椭圆、 双曲线的位 置 关 系的方法类似, 一般是用方程法, 但涉及抛物 线的弦长、 中点、 距离等问题时, 要注意“ 设而 不求” “ 整体代入” “ 点差法” 以及定义的灵活 应用。 二、体现本质,凸显思维 2 0 2 2年高考全国卷抛物线的命题, 试题 稳定且适度创新; 重视数学本质且突出 对 思 维能力、 运算求解能力等的考查; 强化聚焦核 心素养, 加强教考衔接, 引领 教 育 改 革, 体 现 高考数学的科学选拔和育人导向作用。 例 3 【 2 0 2 2年新高考全国 Ⅱ 卷第 1 0 题】 已 知 O 为 坐 标 原 点, 过 抛 物 线 C: y 2 = 2 p x( p> 0 ) 焦点 F 的 直 线 与 抛 物 线C 交 于 A, B 两点, 其中 A 在第一象限, 点 M ( p, 0 ) , 若 | A F | = | AM| , 则( ) 。 A. 直线 A B 的斜率为2 6 B . | O B | = | O F | C . | A B | > 4 | O F | D. ∠O AM +∠O B M < 1 8 0 ° 思路点拨: 由 | A F | = | AM| 及抛物线方 程求 得 A 3 p 4 , 6 p 2 , 再 由 斜 率 公 式 可 判 断 A 选项; 表示出直线 A B 的方程, 联立抛物线 方程求得 B p 3, - 6 p 3 , 即可求出 | O B | , 判 断 B 选 项; 由 抛 物 线 的 定 义 求 出| A B |= 2 5 p 1 2 , 即 可 判 断 C 选 项; 由 O A → ·O B → <0 , MA →· M B → <0 , 求 得 ∠A O B, ∠AM B 为 钝 角, 即可判断 D 选项。 解 析: 对 于 选 项 A, 易 得 F p 2, 0 , 由 | A F | = | AM| 可得点 A 在F M 的垂直平分 线上, 则 A 点横坐标为 p 2+ p 2 =3 p 4 。代入抛 物 线 方 程 可 得 y 2 =2 p ·3 p 4 = 3 2p 2, 则 A 3 p 4 , 6 p 2 , 直 线 A B 的 斜 率 = 6 p 2 3 p 4 -p 2 = 2 6, A 正确。 对于选项 B , 由斜率为2 6可得直线 A B 的方程为x= 1 2 6 y+p 2, 联立抛物线方程得 y 2-1 6 p y- p 2= 0 。设 B( x 1, y 1) , 则 6 2p+ y 1 = 6 6 p, y 1 = - 6 p 3 。 代 入 抛 物 线 得 - 6 p 3 2 = 2 p · x 1,解 得 x 1 = p 3, B p 3, - 6 p 3 , | O B | = p 3 2 + - 6 p 3 2 = 7 p 3 ≠| O F | =p 2, 故 B错误。 对于选项 C , 由抛物线定义 知, | A B |= 3 p 4 +p 3+ p= 2 5 p 1 2 > 2 p= 4 | O F | , 故 C正确。 对于 选 项 D, O A → ·O B → = 3 p 4 , 6 p 2 · 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知
p 3, - 6 p 3 =3 p 4 ·p 3 + 6 p 2 · - 6 p 3 = - 3 p 2 4 < 0 , 则∠A O B 为钝角。又 MA →·M B → = -p 4, 6 p 2 · - 2 p 3 , - 6 p 3 = - p 4 · - 2 p 3 + 6 p 2 · - 6 p 3 = -5 p 2 6 <0 , 则 ∠AM B 为 钝 角。 又 ∠A O B + ∠AM B + ∠O AM + ∠O B M = 3 6 0 ° ,则 ∠O AM + ∠O B M < 1 8 0 ° , 故 D 正确。 故选 A C D。 评析: 本题考查抛物线的几何性质, 考查 同学们的运算求解能力, 是 中 档 题。应 用 抛 物线的几何性质解题时, 常用数形结合 方 法 进行解答, 有关直线与抛物线的弦长问题, 要 注意直线是否过抛物线的焦点, 若过抛 物 线 的焦点, 则可直接使用公式 | A B | = x 1+ x 2+ p( 焦点在x 轴正半轴上) ; 若不过焦点, 则必 须用弦长公式。 三、有效区分,彰显能力 2 0 2 2年高考全国卷抛物线的命题设计, 不仅重视同学们的思维过程、 实践能力 和 创 新意识, 而且在试题难度上具有一定的 层 次 性, 在思维的灵活性、 深刻性, 在 解 题 方 法 的 综合性、 探究性和创造性等方面具有一 定 的 区分度。这些命题特征都体现了高考数学的 选拔功能, 也有利于同学们核心素养的 养 成 和落实, 能够给大家更广阔的思考空间、 更多 的思考角度以及基于自己认知水平的发现和 探索解题方法的不同平台。 例 4 【 2 0 2 2 年 全 国 甲 卷 理 数 第 2 0 题】 设 抛 物 线 C: y 2 =2 p x( p>0 ) 的 焦 点 为 F, 点 D( p, 0 ) , 过 F 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 M , N 两 点。 当 直 线 MD 垂 直 于 x 轴 时, | M F | = 3 。 ( 1 ) 求抛物线C 的方程。 ( 2 ) 设直线 MD, ND 与抛物线C 的另一 个交点分别为A, B, 记直线 MN, A B 的倾斜 角分别为α, β。当α- β 取得最大值时, 求直 线 A B 的方程。 思路 点 拨: ( 1) 由 抛 物 线 的 定 义 可 得 | M F | = p+p 2, 即可得解; ( 2 ) 设出点的坐标 及直线 MN: x=m y+ 1 , 由韦达定理及斜率 公式可得k MN =2 k A B , 再 由 差 角 的 正 切 公 式 及基 本 不 等 式 可 得k A B = 2 2 , 设 直 线 A B: x = 2 y+ n, 结合韦达定理可求解。 解析: ( 1 ) 抛 物 线 的 准 线 为 x= -p 2, 当 MD 与x 轴垂直时, 点 M 的横坐标为p。 此时 | M F |=p+p 2 =3 , 解 得 p=2 , 抛 物线C 的方程为y 2= 4 x。 ( 2 ) 【 解法一】 ( 直线方程横截式) 设 M y 2 1 4, y 1 , N y 2 2 4, y 2 , A y 2 3 4, y 3 , B y 2 4 4, y 4 , 直线 MN: x=m y+ 1 。 由 x=m y+ 1 , y 2= 4 x, 可 得 y 2 -4 m y-4=0 , Δ> 0 , y 1 y 2=- 4 。 由 斜 率 公 式 可 得 k MN = y 1- y 2 y 2 1 4- y 2 2 4 = 4 y 1+ y 2 , k A B =y 3- y 4 y 2 3 4- y 2 4 4 = 4 y 3+ y 4 。 直线 MD: x=x 1- 2 y 1 ·y+2 , 代 入 抛 物 线方程可得 y 2 -4 ( x 1- 2 ) y 1 ·y-8=0 , Δ> 0 , y 1 y 3=- 8 , 所以y 3= 2 y 2。 同理可得, y 4= 2 y 1。 所以k A B = 4 y 3+ y 4= 4 2 ( y 1+ y 2) = k MN 2 。 又因为直 线 MN、 A B 的 倾 斜 角 分 别 为 α, β, 所以k A B = t a n β= k MN 2 = t a n α 2 。 若使α- β 最大, 则β∈ 0 , π 2 。 设k MN =2 k A B =2 k>0 , 则t a n ( α- β) = t a n α- t a n β 1 + t a n α t a n β = k 1 + 2 k 2 = 1 1 k + 2 k ≤ 1 2 1 k · 2 k = 2 4 , 当且仅当1 k = 2 k, 即k= 2 2 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知
时, 等号成立。 所以当α- β 最大时, k A B = 2 2 。 设直线 A B: x= 2 y+ n, 代入抛物线方 程可 得 y 2 -4 2 y-4 n=0 , Δ>0 , y 3 y 4 = - 4 n= 4 y 1 y 2=- 1 6 , 所以n= 4 , 直线 A B: x = 2 y+ 4 。 【 解法二】 ( 直线方程点斜式) 由题可知, 直线 MN 的斜率存在。 设 M ( x 1, y 1) , N ( x 2, y 2) , A ( x 3, y 3) , B( x 4, y 4) , 直线 MN: y= k( x- 1 ) 。 由 y= k( x- 1 ) , y 2= 4 x, 得 k 2 x 2 - ( 2 k 2 + 4 ) x+ k 2=0 , x 1+x 2=2+ 4 k 2, x 1 x 2=1 。解 得, y 1 y 2=- 4 。 直线 MD: y= y 1 x 1- 2( x-2 ) , 代 入 抛 物 线方程可得x 1 x 3= 4 。同理, x 2 x 4= 4 。 代入抛物 线 方 程 可 得 y 1 y 3 = -8 , 所 以 y 3= 2 y 2。同理可得, y 4= 2 y 1。 由 斜 率 公 式 可 得 k A B = y 4- y 3 x 4- x 3 = 2 ( y 1- y 2) 4 1 x 2- 1 x 1 = y 2- y 1 2 ( x 2- x 1) =1 2 k MN 。 ( 下同解法一) 若要使α- β 最大, 则β∈ 0 , π 2 。设k MN =2 k A B =2 k>0 , 则t a n ( α- β) = t a n α- t a n β 1 + t a n α t a n β = k 1 + 2 k 2 = 1 1 k + 2 k ≤ 1 2 1 k · 2 k = 2 4 , 当且仅当1 k = 2 k, 即k= 2 2 时, 等号 成 立。所 以 当α- β 最 大 时, k A B = 2 2 。 设直线 A B: x= 2 y+ n, 代入抛物线方 程可 得 y 2 -4 2 y-4 n=0 , Δ>0 , y 3 y 4 = - 4 n= 4 y 1 y 2=- 1 6 , 所以n= 4 , 直线 A B: x = 2 y+ 4 。 【 解法三】 ( 三点共线) 设 M y 2 1 4, y 1 , N y 2 2 4, y 2 , A y 2 3 4, y 3 , B y 2 4 4, y 4 。 设 P( t , 0 ) , 若 P、 M 、 N 三 点 共 线, 由 PM →= y 2 1 4- t , y 1 , P N → = y 2 2 4- t , y 2 , 可 得 y 2 1 4- t y 2= y 2 2 4- t y 1, 化简得y 1 y 2=- 4 t 。 反之, 若y 1 y 2= -4 t , 可 得 MN 过 定 点 ( t , 0 ) 。 因此, 由 M 、 N、 F 三 点 共 线, 得 y 1 y 2 = - 4 。 由 M 、 D、 A 三点共线, 得y 1 y 3=- 8 ; 由 N、 D、 B 三点共线, 得y 2 y 4=- 8 。 则y 3 y 4= - 8 y 1 · - 8 y 2 =- 1 6 , A B 过定点 ( 4 , 0 ) 。 ( 下同 解 法 一) 要 使α- β 最 大, 则β∈ 0 , π 2 。设k MN =2 k A B =2 k>0 , 则t a n ( α- β) = t a n α- t a n β 1 + t a n α t a n β = k 1 + 2 k 2 = 1 1 k + 2 k ≤ 1 2 1 k · 2 k = 2 4 , 当且仅当1 k = 2 k, 即k= 2 2 时, 等号成立。 所以 当 α-β 最 大 时, k A B = 2 2 , 直 线 A B: x= 2 y+ 4 。 评析: 本题考查抛物线方程的求法, 考查 直线与抛物线位置关系的应用, 同时考 查 同 学们运算求解能力, 属难题。本题( 2 ) 的解法 一, 利用直线方程横截式, 简化了联立方程的 运算, 通 过 寻 找 直 线 MN, A B 的 斜 率 关 系, 由基本不等式即可求出直线 A B 的 斜 率, 再 根据韦达定理求出直线方程, 是该题的 最 优 解, 也是通性通法; 解法二, 常 规 设 直 线 方 程 点斜式, 解题过程同解法一; 解 法 三, 通 过 设 点由三点共线寻找纵坐标关系, 快速找 到 直 线 A B 过定点, 省去联立过程, 不啻为一种简 化运算的好方法。 ( 责任编辑 徐利杰) 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知
■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其 解数学题, 优先考虑定义法, 因为巧用定 义往往能起到优化思维、 简化运算的解 题 效 果, 抛物线问题更是如此。那 么 抛 物 线 定 义 有哪些应用呢? 下面介绍三 个 典 型 应 用, 供 大家学习参考。 一、利用抛物线定义求焦半径 例 1 ( 1 ) 已知抛物线C: y 2= 2 p x( p> 0 ) 的焦点为F, 过焦点且斜率为2 2的直线l 与抛物线C 交于A, B( A 在B 的上方) 两点, 若 | A F | = λ | B F | , 则λ 的值为( ) 。 A. 2 B . 3 C . 2 D. 5 ( 2 ) 已知抛物线C: y 2= 2 p x( p> 0 ) 的焦 点为F, Q 为抛物线C 上一点, M 为抛物线C 的准线l上一点, 且Q M∥ x 轴。若O 为坐标 原点, P 在x 轴上, 且在点 F 的右侧, | O P | = 4 , | Q F | = | Q P | , ∠MQ P= 1 2 0 ° , 则准线l 的方程为( ) 。 A. x=- 1 6 5 B . x=-2 5 C . x=-4 5 D. x=-8 5 分析: ( 1 ) 设 直 线l 的 倾 斜 角 为θ, 求 得 c o s θ=1 3。过 A 作 A A1 垂直准线于 A1, 过 B 作B B 1 垂 直 准 线 于 B 1, 过 B 作 B C 垂 直 A A1 于 C。 由 抛 物 线 定 义 求 出, | A C |= ( λ- 1 ) | B F | 和 | A B | =( λ+ 1 ) | B F | 。 在 R t △A B C 中, 利 用 余 弦 的 定 义 表 示 出c o s θ=| A C | | A B | =1 3, 即可求解。 ( 2 ) 根据抛物线的定义以及已知的 几 何 量关系, 判 断 出 △P F Q 为 等 边 三 角 形, 再 运 用焦半径公式求出边长, 进而解得p 的取值, 最后求出准线方程。 解: ( 1 ) 设直线l的倾斜角为θ, 根据条件 可得t a n θ= 2 2, 则c o s θ=1 3。 图1 如图 1 , 过 A 作 A A1 垂 直 准 线 于 A1, 过 B 作 B B 1 垂 直 准 线 于 B 1, 过 B 作B C 垂直A A1 于C。 由 抛 物 线 定 义 可 得, | A F |=| A A1| , | B F |= | B B 1 | 。 因为 | A F |= λ | B F | , 所 以 |A C| = | A A1 | - | A1 C | = | A A1 |-| B B 1 |=| A F | - | B F |= ( λ- 1 ) | B F | 。 | A B | = | A F | + | B F | =( λ+ 1 ) | B F | 。 在 R t △A B C 中, c o s θ = | A C | | A B | = ( λ- 1 ) | B F | ( λ+ 1 ) | B F | =1 3, 解得λ= 2 。故选 C 。 ( 2 ) 由题意得, 如图2所示, 点 P 在焦点 F 的右边, 且 P( 4 , 0 ) , Q M ⊥ l , 由抛物线的定 义知 | Q F | = | Q M| 。 图2 因 | Q F |=| Q P| , 故 | Q P | = | Q M| 。 又 ∠MQ P = 1 2 0 ° , Q M∥ x 轴, 故 ∠Q P F = 6 0 ° , △ Q F P 为等边三角形。 则点 Q 的 横 坐 标 为 x Q =p 2 + 4 -p 2 2 =2 +p 4, | Q M| = 2 +p 4+p 2= 2 + 3 p 4 。 7 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知
又 | Q M|=| Q P|=| F P|=4-p 2, 故 2 + 3 p 4 = 4 -p 2, 解得p=8 5。 所以准线l的方程为x=-4 5, 选 C 。 点评: 抛物线的焦半径, 就是抛物线上的 点到抛物线焦点的距离。抛物线问题中如果 涉及焦半径, 通常依据抛物线的定义, 把焦半 径转化为抛物线上的点到准线的距离。 二、利用抛物线定义求焦点弦 例 2 ( 1 ) 抛物线 C: y 2=2 p x 的焦点 F 恰好是圆( x- 1 ) 2+ y 2= 1的圆心, 过点 F 且倾斜角为4 5 ° 的直线l 与抛物线C 交于不 同的两点A, B, 则 | A B | = 。 ( 2 ) 已知抛物线 C: y 2= 4 x 的焦点为F, 过点 F 分别作两条 直 线l 1, l 2, 直 线l 1 与 抛 物线C 交于 A、 B 两点, 直线l 2 与抛物线 C 交于D、 E 两点, 若l 1 与l 2 的斜率的平方和 为2 , 则 | A B | + | D E | 的最小值为( ) 。 A. 2 4 B . 2 0 C . 1 6 D. 1 2 分析: ( 1 ) 根据题意可得 C: y 2= 4 x, l : y = x- 1 , 联 立 方 程 利 用 韦 达 定 理 求| A B |= x 1+ x 2+p 的 值 即 可; ( 2 ) 设 出 两 条 直 线 方 程, 与抛物线联立, 求出弦长 的 表 达 式, 根 据 基本不等式求出最小值。 解: ( 1 ) 由题意知, 焦点 F( 1 , 0 ) , 则抛物 线C: y 2= 4 x, 直线l : y= x- 1 。 设 A ( x 1, y 1 ) , B ( x 2, y 2 ) ,联 立 y= x- 1 , y 2= 4 x, 消去y 并整理得x 2- 6 x+ 1 = 0 。 则x 1+ x 2= 6 。 所以 | A B | = x 1+ x 2+ p= 6 + 2 = 8 。 ( 2 ) 抛物线的焦点坐标为 F( 1 , 0 ) , 设直 线l 1: y= k 1( x- 1 ) , 直线l 2: y= k 2( x- 1 ) 。 联立 y= k 1( x- 1 ) , y 2= 4 x, 得: k 2 1 x 2-( 2 k 2 1+ 4 ) x+ k 2 1= 0 。 所以x 1+ x 2= 2 k 2 1+ 4 k 2 1 = 2 +4 k 2 1 。 焦点弦 | A B | = x 1+ x 2+ p= 4 +4 k 2 1 。 同理得, | D E | = 4 +4 k 2 2 。 所以 | A B | + | D E | = 8 +4 k 2 1+4 k 2 2 。 因 为 k 2 1 + k 2 2 = 2 ,所 以 4 k 2 1 + 4 k 2 2 = 1 2 4 k 2 1+4 k 2 2 ( k 2 1+ k 2 2) =1 2 8 + 4 k 2 2 k 2 1 + 4 k 2 1 k 2 2 ≥ 8 。 故( | A B | + | D E | ) m i n= 1 6 , 选 C 。 点评: 焦点弦就是过抛物线的焦点的弦, 它可以看成是由两条焦半径组成的。若 A B 是抛物线y 2= 2 p x 的焦点弦, 且 A( x 1, y 1) , B( x 2, y 2) , 抛 物 线 的 焦 点 为 F, 则 根 据 抛 物 线的 定 义, 得| A B|=|A F|+| B F|= x 1+p 2 + x 2+p 2 =x 1+x 2 +p, 运 用 这 个公式时常结合韦达定理。 三、利用抛物线定义求距离的最值 例 3 ( 1 ) 长度为4的线段 A B 的两个 端点在抛物线y=x 2 上移动, 则线段 A B 的 中点 M 到x 轴距离的最小值为( ) 。 A. 3 B . 7 2 C . 1 5 4 D. 7 4 ( 2 ) 已知抛物线C: y 2= x 的准线为l , 点 A 的坐标为( 1 , 0 ) , 点 P 在抛物线C 上, 点 P 到直线l 的距离为d, 则 | P A | - d 的最大值 为( ) 。 A. 3 4 B . 1 2 C . 1 D. 2 3 ( 3 ) ( 多选) 已知 A( a, 0 ) , M ( 3 , - 2 ) , 点 P 在抛物线y 2= 4 x 上, 则( ) 。 A. 当a= 1时, | P A | 的最小值为1 B . 当a= 3时, | P A | 的最小值为3 C . 当a= 1时, | P A |+| PM|的最小值 为4 D. 当a= 3时, | P A | - | PM|的最大值 为2 分析: ( 1 ) 求 出 抛 物 线 的 焦 点 和 准 线 方 程, 设 A( x 1, y 1) , B( x 2, y 2) , 点 M 到x 轴的 8 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2 0 2 2年1 1月 全科互知