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■刘长柏 一、 选择题 1 . 下列关系中正确的是( ) 。 A. 0 ?{ 0 } B . ??( { 0 } C . { 0 , 1 } ?{ ( 0 , 1 ) } D. { ( a, b) } ={ ( b, a) } 2 . 设 全 集 U =R, 集 合 A = { x | x-1 > 0 } , B = { x| 3-x ≤0} , 则 A ∩ ( ? UB) = ( ) 。 A. ( 1 , +∞) B . [ 3 , +∞) C . ( 1 , 3 ] D. ( 1 , 3 ) 3 . 已知命题 p: ? x∈ 1 2, 4 [ ] , x 2- a x+ 4 > 0 为 真 命 题, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是( ) 。 A. a < 4 B . a < 1 7 2 C . a < 1 3 3 D. a > 5 4 . 若命 题 “ ? x∈R, 1-x 2 > m” 是 真 命 题, 则实数 m 的取值范围是( ) 。 A. ( -∞, 1 ) B . ( -∞, 1 ] C . ( 1 , +∞) D. [ 1 , +∞) 5 . 使不等式x 2- x- 6 < 0成立的充分不 必要条件是( ) 。 A. - 2 < x < 0 B . - 2 < x < 3 C . 0 < x < 5 D. - 2 < x < 4 6 . 已知“ ( x+ a) 2- 1 6 > 0 ” 的必要不充分 条件是“ x≤- 2或 x≥ 3 ” , 则实数a 的最大 值为( ) 。 A. - 2 B . - 1 C . 0 D. 1 7 . 如图1 , 全集U=R, 集合 A={ x | x < - 1或x > 4 } , B={ x |-2≤x≤3 } , 那么阴 影部分表示的集合为( ) 。 图1 A. { x | - 2 ≤ x < 4 } B . { x | x≤ 3或x≥ 4 } C . { x | - 2 ≤ x≤- 1 } D. { x | - 1 ≤ x≤ 3 } 8 . 设 a, b 是 实 数, 集 合 A = { x | | x- a | < 1 , x∈R } , B={ x | | x- b | > 3 , x∈R} , 且 A?B, 则 | a- b | 的取值范围为( ) 。 A. 0 , 2 [ ] B . 0 , 4 [ ] C . 2 , +∞ [ ) D. 4 , +∞ [ ) 9 . 若不等式 | x- 1 | < a 成立的充分条件 是0 < x < 4 , 则实数a 的取值范围是( ) 。 A. { a | a≥ 3 } B . { a | a≥ 1 } C . { a | a≤ 3 } D. { a | a≤ 1 } 1 0 . 已知命题p:x ≤ 1 , q: x < a, 若?? q 是?? p 的充分不必要条件, 则实数a 的取值 范围是( ) 。 A.-∞, 1 ( ) B .-∞, 1 ( ] C . 1 , +∞ ( ) D. 1 , +∞ [ ) 1 1 . ( 多 选 题) 已 知 全 集 为 U, A, B 是 U 的非空子集, 且 A?? UB, 则下列关系一定正 确的是( ) 。 A. ? x∈ U, x?A 且x∈B B . ? x∈A, x?B C . ? x∈ U, x∈A 或x∈B D. ? x∈ U, x∈A 且x∈B 1 2 . ( 多选题) 已知 ? x∈R, 不等式 x 2- 4 x- a- 1 < 0不成立, 则下列a 的取值不正 确的是( ) 。 A. ( -∞, - 5 ] B . ( -∞, - 2 ] C . ( -∞, - 3 ] D. ( -∞, - 1 ] 1 3 . ( 多选题) “ 2 x 2- 3 x- 2 < 0 ” 的一个充 分不必要条件可以是( ) 。 A. x > - 1 B . 0 < x < 1 C . -1 2 < x < 1 2 D. x < 2 1 4 . ( 多选题) 下列结论正确的是( ) 。 A. 2∈Q 3 数学部分·核心考点演练 高一使用 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
B . 对于集合 A, B, 若 A∪B=A∩B, 则 A=B C . 若 A∩B=B, 则 B?A D. 若a∈A, a∈B, 则a∈A∩B 1 5 . ( 多选题) 下列说法正确的是( ) 。 A. 命 题 “ ? x∈R, x 2 > -1 ” 的 否 定 是 “ ? x∈R, x 2 < - 1 ” 。 B . 命题“ ? x∈( - 3 , +∞) , x 2≤ 9 ” 的否 定是“ ? x∈( - 3 , +∞) , x 2 > 9 ” C . “x > y ” 是“ x > y” 的必要条件。 D. “ m < 0 ” 是“ 关 于 x 的 方 程x 2-2 x+ m= 0有一正一负根” 的充要条件 二、 填空题 1 6 . 已知集合 A = { x | x 2-2 x-8 < 0 } , 非空集合 B={ x | - 2 < x < 3 +m} , 若x∈B 是x∈A 成立 的 一 个 充 分 而 不 必 要 条 件, 则 实数 m 的取值范围是 。 1 7 . 已知全集 U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } , 集 合 A, B 均 为 U 的 子 集。 若 A ∩B = { 5 } , A∩B={ 7 } , 则 A= 。 1 8 . 已 知 命 题 p: ? x∈R, 使 x 2 +a x+ a < 0 , 若命题 p 是假命题, 则实数a 的 取 值 范围是 。 1 9 . 若 “ 1-m < x +m < 2 m ” 是 “ 0 < x+ 1 2 < 1 ” 的必要不充分条件, 则实数 m 的取 值范围为 。 2 0 . 若“ ? x∈[ - 2 , 1 ] , x 2+ 2 x-m > 0 ” 为假命题, 则实数 m 的最小值为 。 2 1 . 已知集合 A={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , 集 合 B={ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } , 则图2中的阴影部分表示 的集合中元素的个数为 。 图2 2 2 . 已知“ ? x∈ 1 2, 2 [ ] , x 2-m x+ 1 ≤ 0 ” 是假命题, 则实数 m 的取值范围为 。 2 3 . 已 知 函 数 f ( x) =x 2 -4 x +3 , g( x) =m x +5-2 m, 若 对 任 意 的 x 1 ∈ 1 , 4 [ ] , 总 存 在 x 2 ∈ 1 , 4 [ ] , 使 f ( x 1 ) = g( x 2) 成立, 则实数 m 的取值范围是 。 2 4 . 已知集合 A={ x | ( a-1 ) x 2+3 x- 2 = 0 } , 若 A 的 子 集 个 数 为 2 , 则 实 数 a= 。 2 5 . 已知p: x 2- 7 x+ 1 0 < 0 , q: ( x-m) · ( x- 3 m) < 0 , 其中 m > 0 。若q 是p 的必要 不充分条件, 则实数 m 的取值范围是 。 2 6 . 若集合 A={ x | x 2- 3 x- 4 = 0 } , B= { x | a x- 1 = 0 } , 且“ x∈B” 是“ x∈A” 的充分 非必要条件, 则实数a 组成的集合是 。 三、 解答题 2 7 . 在①A∪B=B; ②“ x∈A” 是“ x∈B” 的充分不必要条件; ③A∩B=?这三个条件 中任选一个, 补充到本题第( 2 ) 问的横线处, 求解下列问题: 已知集 合 A = { x | a-1≤x≤a+1 } , B={ x | x 2- 2 x- 3 ≤ 0 } 。 ( 1 ) 当a= 2时, 求 A∪B。 ( 2 ) 若 , 求实数a 的取值范围。 2 8 . 已知 非 空 集 合 P = { x | a-1≤x≤ 6 a- 1 4 } , Q={ x | - 2 ≤ x≤ 5 } 。 ( 1 ) 若a= 3 , 求 ? RP ( ) ∩Q。 ( 2 ) 若“ x∈P” 是“ x∈Q” 的充分不必要 条件, 求实数a 的取值范围。 2 9 . 已知集 合 A = { x | a < x < 2 a} , B= { x | x≤- 4或x≥ 3 } 。 ( 1 ) 当a= 2时, 求 A∪ ? R B ( ) 。 ( 2 ) 若 A?? R B, 求a 的取值范围。 3 0 . 已 知 p: 5 x+ 1≥2 , q: x 2 - m x - 2 m 2≤ 0 , 其中 m > 0 。 ( 1 ) 若 p 是q 的充分条件, 求实数 m 的 取值范围。 ( 2 ) 是否存在 m, 使得?? p 是q 的必要条 件? 若存在, 求出 m 的值; 若不存在, 请说明 理由。 3 1 . 已知命题: “ ? x∈R, 使x 2- a x+ 4 ≤ 0成立” 是真命题。 ( 1 ) 求实数a 的取值集合A。 ( 2 ) 设 不 等 式 x- 3 m x-m- 2≤0 m≠ 1 ( ) 的 解 集为 B, 若 x∈B 是x∈ ? UA 的充分不必要 条件, 求实数 m 的取值范围。 4 数学部分·核心考点演练 高一使用 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
3 2 . 已知命题: “ ? x∈{ x |-1≤x≤1 } , 都有不等式x 2- x-m < 0成立” 是真命题。 ( 1 ) 求实数 m 的取值集合B。 ( 2 ) 设不等式( x- 3 a) ( x- a- 2 ) < 0的 解集为 A, 若 x∈A 是x∈B 的充分不必要 条件, 求实数a 的取值范围。 3 3 . 已知集合 A 中含有两个元素a- 3和 2 a- 1 。 ( 1 ) 若- 2是集合 A 中的元素, 试求实数 a 的值。 ( 2 ) - 5能否为集合 A 中的元素? 若能, 试求出该集合中的所有元素; 若不能, 请说明 理由。 3 4 . 求关于x 的方程a x 2+2 x+1=0 至 少有一个负实根的充要条件。 一、 选择题 1 . 提示: 0是元素, { 0 } 是集合, 而元素和 集合之间不能用包含关系, A 错误。{ 0 , 1 } 是 两个元素的实数集, { ( 0 , 1 ) } 是一个元素的点 集, 元素类 型 不 同, 因 此 不 具 有 包 含 关 系, C 错误。{ ( a, b) } , { ( b, a) } 这两个集合中的元 素分别是( a, b) , ( b, a) , 显 然 这 两 个 点 不 一 定是同一个点, 于是这两个集合不一定相等, D 错误。空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 集, B 正确。应选 B 。 2 . 提示: 由 A={ x | x- 1 > 0 } ={ x | x > 1 } , B= { x | 3-x≤0 } = { x | x≥3} , 可 得 ? UB={ x | x < 3 } , 所以 A∩( ? UB) ={ x | 1 < x < 3 } 。应选 D。 3 . 提 示: 命 题 p: ? x ∈ 1 2, 4 [ ] , x 2 - a x+ 4 > 0 , 即 a < x+4 x ( ) m a x 。 设 f( x) = x+4 x , 则对钩函数 f( x) 在 x=2 处取得最 小值为 4 , 在 x= 1 2 处 取 得 最 大 值 为1 7 2, 故 a < 1 7 2。应选 B 。 4 . 提示: 若命题“ ? x∈R, 1 -x 2 > m” 是 真命题, 即 x 2+m -1 < 0 有 解, 则Δ > 0 , 即 Δ=- 4 ( m- 1 ) > 0 , 解得 m < 1 。应选 A。 5 . 提示: 由x 2- x- 6 < 0 , 可得- 2 < x < 3 。对于 A, 由{ x |-2 < x < 0 } ? { x |-2 < x < 3 } , 知- 2 < x < 0 是 x 2-x-6 < 0 成立 的充分不必要条件, A 正确。对于 B , -2 < x < 3是x 2- x- 6 < 0成立的充要条件, B 不 正确。对于 C , 由 { x | 0 < x < 5 } ?{ x | - 2 < x < 3 } , 且{ x | -2 < x < 3 } ?{ x | 0 < x < 5 } , 可知0 < x < 5是 x 2-x-6 < 0 成立的既不 充分 也 不 必 要 条 件, C 不 正 确。 对 于 D, 由 { x | - 2 < x < 3 } ?{ x | - 2 < x < 4 } , 知- 2 < x < 4是x 2- x- 6 < 0成立的必要不充分条 件, D 不正确。应选 A。 6 . 提示: 由 ( x+a) 2 -1 6 > 0 , 可 得 x < - a- 4或 x > 4 - a。因为“ ( x+ a) 2-1 6 > 0 ” 的必要不充分条件是“ x≤ -2 或 x≥3 ” , 所以 - a- 4 ≤- 2 , 4 - a≥ 3 , { 解 得 -2≤a≤1 。 故 实 数a 的最大值为1 。应选 D。 7 . 提 示: 图 1 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 ? UA ( ) ∩B。因 为 A = { x | x < -1 或 x > 4 } , 所以? UA={ x |-1≤x≤4 } 。因 为 B= { x |- 2 ≤x ≤3} , 所 以 ? UA ( ) ∩B = { x| - 1 ≤ x≤ 3 } 。应选 D。 8 . 提示: 集合 A={ x | | x- a | < 1 , x∈R } ={ x | a- 1 < x < a+ 1 } , B={ x | | x- b | > 3 , x∈R } ={ x | x < b- 3或 x > b+ 3 } , 又 A? B, 所以 a+ 1 ≤ b-3 或a-1≥ b+3 , 即a- b≤- 4 或 a- b≥4 , 也 即| a- b |≥4 , 所 以 | a- b | 的取值范围为[ 4 , +∞) 。应选 D。 9 . 提示: 设不等式| x < 1 | < a 的 解 集 为 A, 则{ x | 0 < x < 4 } ?A。当 a≤0 时, A = ?, 不满足要求; 当a > 0时, A={ x | 1 - a < x < 1+a} , 若 { x| 0 < x < 4} ? A, 则 1 - a≤ 0 , 1 + a≥ 4 , { 解得 a≥ 3 。应选 A。 1 0 . 提示: 由 | x | ≤ 1 , 可得- 1 ≤ x≤ 1 。设 A=[ - 1 , 1 ] , B= ( - ∞, a) 。由 ?? q 是 ??p 的充分不必要条件, 则 p 是q 的充分不必要 条件, 所以 A?B, 则a > 1 。应选 C 。 1 1 . 提示: 全集为U, A, B 是U 的非空子 集, 且 A?? UB, 则 A, B, U 的关系用韦恩图 5 数学部分·核心考点演练 高一使用 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
表示, 如图3所示。 图3 由图可知, ? x∈ U, x?A 且x∈B, A 正 确。 A∩ B=?, 必有? x∈A, x?B, B 正确。 由A∪ B≠ U, 可知? x∈ U, 满足x?A, x? B, C不正确。因为A∩ B=?, 所以不存在x∈ U 满足x∈ A 且x∈ B, D不正确。应选 A , B 。 1 2 . 提示: 已知? x∈R, 不等式x 2- 4 x- a-1 < 0 不 成 立, 等 价 于 ? x∈R, 不 等 式 x 2- 4 x-a-1≥0 恒 成 立, 所 以 Δ=1 6+ 4 ( a+ 1 ) ≤ 0 , 所以a≤- 5 。只要a 的取值是 { a | a≤- 5 } 的子集即可, 则选项 B , C , D 都不 正确。应选 B , C , D。 1 3 . 提 示: 由 2 x 2 -3 x -2 < 0 , 可 得 -1 2 < x < 2 。设 M = -1 2, 2 ( ) , 设选项对应 的集合为 N。由 题 意 知 N 是 M 的 真 子 集。 应选 B , C 。 1 4 . 提示: 2?Q, A 错误。显然, B 正确。 显然, C 正 确。因 为a∈A, a∈B, 所 以a∈ A∩B, D 正确。应选 B , C , D。 1 5 . 提示: 命题“ ? x∈R , x 2 > - 1 ” 的否定 是“ ? x∈R , x 2≤- 1 ” , A 错误。命题“ ? x∈ ( - 3 , + ∞) , x 2 ≤9 ” 的 否 定 是 “ ? x∈ ( -3 , +∞) , x 2 > 9 ” , B 正 确。 | x | > | y |不 能 推 出 x > y, x > y, 也 不 能 推 出| x | > | y | , 所 以 “x > y ” 是“ x > y” 的既不充分也不必要 条件, C错误。关于x 的方程x 2- 2 x+m= 0 有一 正 一 负 根 ? 4 - 4 m > 0 , m < 0 { ?m < 0 , 所 以 “ m < 0 ” 是“ 关于x 的方程x 2- 2 x+m= 0有 一正一负根” 的充要条件, D正确。应选 B , D 。 二、 填空题 1 6 . 提示: 由题意得A={ x | - 2 < x < 4 } 。 由x∈B 是x∈A 成立的一个充分而不必要 条件, 可得 B?A, 即 - 2 < 3 +m, 3 +m < 4 , { 解得- 5 < m < 1 , 即 m∈( - 5 , 1 ) 。 1 7 . 提示: 因为集合 A, B 均为U 的子集, 所以U=B∪B, 所以 A=A∩ U=A∩( B∪ B) =( A∩B) ∪( A∩B) 。而 A∩B= 5 { } , A∩B= 7 { } , 所以 A={ 5 , 7 } 。 1 8 . 提 示: 因 为 命 题 p: ? x ∈ R, x 2 + a x+ a < 0 , 所以??p: ? x∈R, x 2+ a x+ a≥ 0 。若命题p 是假命题, 则??p 是真命题, 所 以Δ≤ 0 , 即a 2- 4 a≤ 0 , 解得0 ≤ a≤ 4 , 即实 数 a∈ 0 , 4 [ ] 。 1 9 . 提示: 不 等 式 0 < x+ 1 2 < 1 的 解 集 为 ( - 1 , 1 ) , 1 - m < x+m < 2 m 的解集为( 1 - 2 m, m) 。因为“ 1 -m < x+m < 2 m” 是“ 0 < x+ 1 2 < 1 ”的 必 要 不 充 分 条 件, 所 以 - 1 , 1 ( ) ? 1 - 2 m, m ( ) , 所以 m > 1 , 1 - 2 m < - 1 , { 解得 m > 1 , 即 m∈ 1 , +∞ ( ) 。 2 0 . 提 示: 命 题 “ ? x ∈ - 2 , 1 [ ] , x 2 + 2 x-m > 0 ” 是假命题, 它的否命题是“ ? x∈ - 2 , 1 [ ] , x 2 +2 x - m ≤0” 是 真 命 题, 即 ? x∈ - 2 , 1 [ ] , x 2 +2 x ≤m 恒 成 立, 所 以 m≥ x 2+ 2 x ( ) m a x,? x ∈ - 2 , 1 [ ] 。 因 为 f( x) = x 2+ 2 x= x+ 1 ( ) 2-1 在 [ -2 , -1 ] 上单调递减, [ - 1 , 1 ] 上单调递增, 又f 1 ( ) = 3 , f - 2 ( ) = 0 , 所以f( x) m a x= 3 , 所以 m≥ 3 , 即 m 的最小值为3 。 2 1 . 提示: 由图知阴影部分表示的集合为 ? A A∩B ( ) 。因为 A={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , B= { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } , 所 以 A ∩B = { 1 , 3 , 5 } , 所 以 ? A A∩B ( ) = 0 , 2 , 4 { } , 即图2中的阴影部分 表示的集合中元素的个数为3 。 2 2 . 提 示: 由 题 意 可 知, ? x ∈ 1 2, 2 [ ] , m < x+1 x 是 真 命 题。令 g( x) =x+ 1 x , 则 g( x) = x+1 x 在 1 2, 1 [ ] 上单调递减, [ 1 , 2 ] 上 单调递增, 所以g( x) m i n= g( 1 ) = 2 , 所以m < 2 , 即∈( -∞, 2 ) 。 2 3 . 提 示: 因 为 f ( x) =x 2 -4 x +3= x- 2 ( ) 2- 1 , 所以函数f( x) 的对称轴为x= 2 。对 任 意 的 x 1 ∈ 1 , 4 [ ] ,则 f ( x )∈ 6 数学部分·核心考点演练 高一使用 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
- 1 , 3 [ ] , 记 A = - 1 , 3 [ ] 。 由 题 意 知, 当 m= 0时不合题意, 当m > 0时, g( x) =m x+ 5 - 2 m 在 1 , 4 [ ] 上 是 增 函 数, 所 以 g( x) ∈ 5 -m, 2 m+ 5 [ ] ,记 B = 5 -m, 2 m+ 5 [ ] 。 由题 意 知, B ?A, 所 以 - 1 ≥ 5 -m, 2 m+ 5 ≥ 3 , { 解 得 m≥ 6 。当 m < 0 时, g( x) =m x+5-2 m 在 1 , 4 [ ] 上 是 减 函 数, 所 以 g ( x ) ∈ 2 m+ 5 , 5 -m [ ] , 记 C= 2 m+ 5 , 5 -m [ ] , 由 题意知, C?A, 所以 2 m+ 5 ≤- 1 , 5 -m≥ 3 , { 解得 m≤ -3 。 综 上 所 述, 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( -∞, - 3 ] ∪[ 6 , +∞) 。 2 4 . 提 示: 由 集 合 A = { x |( a-1 ) x 2 + 3 x- 2 = 0 } , 且 A 的子集个数为2 , 可得( a- 1 ) x 2+3 x-2=0 只有一个实数解。当a- 1 = 0 , 即a= 1时, 3 x- 2 = 0 , 解得x=2 3, 满 足条件; 当a- 1 ≠ 0 , 即a≠ 1时, ( a- 1 ) x 2+ 3 x- 2 = 0只有一个实数根, 则 Δ=8 a+1= 0 , 解得a=-1 8。故实数a= 1或a=-1 8。 2 5 . 提示: 由 x 2 -7 x+1 0 < 0 , 可 得 2 < x < 5 , 即不 等 式 的 解 集 为 x 2 < x < 5 { } 。由 ( x-m) ( x- 3 m) < 0 , 其中 m > 0 , 可得 m < x < 3 m, 即不等式的解集为{ x | m < x < 3 m} 。 由q 是p 的 必 要 不 充 分 条 件, 可 得 p? q 且 q? /p, 所以{ x | 2 < x < 5 } ?{ x | m < x < 3 m} , 则 m≤ 2 , 3 m≥ 5 , { 解得5 3≤m≤ 2 , 即 m∈ 5 3, 2 [ ] 。 2 6 . 提示: 由 题 意 得 A = - 1 , 4 { } 。因 为 “ x∈B” 是“ x∈A” 的充分非必要条件, 所以 B?A。若a= 0 , 则B=?, 满足题意; 若a≠ 0 , 则 B= 1 a { } , 可 得 1 a = -1 即 a= -1 或 1 a = 4即a=1 4。答案为 0 , - 1 , 1 4 { } 。 三、 解答题 2 7 . 提 示: ( 1) 当 a =2 时, 集 合 A = x | 1 ≤ x≤ 3 { } , B = x | - 1 ≤ x≤ 3 { } ,所 以 A∪B= x | - 1 ≤ x≤ 3 { } 。 ( 2 ) 选 择 ①。 若 A ∪B =B, 则 A ?B。 因为A= x | a- 1 ≤ x≤ a+ 1 { } , 所以A≠?。 又 因 为 B = x | - 1 ≤ x≤ 3 { } ,所 以 a- 1 ≥- 1 , a+ 1 ≤ 3 , { 解得0 ≤ a≤ 2 , 即实数a 的取值 范围是 0 , 2 [ ] 。 选择②。“ x∈A“ 是“ x∈B” 的充分不必 要条件, 则 A?B。 因为 A= x | a- 1 ≤ x≤ a+ 1 { } , a-1 < a+ 1 , 所以A≠?。又 B= x | - 1 ≤ x≤ 3 { } , 所以 a- 1 ≥- 1 a+ 1 ≤ 3 { , 解得0 ≤ a≤ 2 , 即实数a 的 取值范围是 0 , 2 [ ] 。 选择③, A∩ B=?, 因为 A={ x | a- 1 ≤ x≤ a+ 1 } , B={ x | - 1 ≤ x≤ 3 } , 所以a- 1 > 3 或a+ 1 < - 1 , 解得a > 4或a < - 2 , 即实数a 的取值范围是 -∞, - 2 ( ) ∪ 4 , +∞ ( ) 。 2 8 . 提示: ( 1 ) 由已知 P={ x | 2 ≤x≤ 4 } , ? RP={ x | x < 2或x > 4 } , 可得( ? RP) ∩Q= { x | -2≤x < 2 或 4 < x≤5 } = - 2 , 2 [ ) ∪ 4 , 5 ( ] 。 ( 2 ) 若“ x∈P” 是“ x∈Q” 的充分不必要 条件, 则 a- 1 ≥- 2 , 6 a- 1 4 ≤ 5 , a- 1 ≤ 6 a- 1 4 , ì ? í ? ? ? ? 解得1 3 5 ≤ a≤1 9 6, 所 以a 的取值范围是 1 3 5, 1 9 6 [ ] 。 2 9 . 提 示:( 1)由 题 意 得 集 合 A = x 2 < x < 4 { } , B = x x≤- 4 { 或x≥ 3 } , 所 以 ? RB = x - 4 < x < 3 { } , 故 A ∪ ? R B ( ) = x - 4 < x < 4 { } 。 ( 2 ) 当a≤ 0时, A=?, 符合题意。 当a > 0时, 由2 a≤ 3 , 可得0 < a≤3 2, 所 以a 的取值范围为 -∞, 3 2 ( ] 。 3 0 . 提示: ( 1 ) 由 5 x+ 1≥2 , 可 得2 x- 3 x+ 1 ≤ 0 , 所以p: - 1 < x≤3 2。 由 m > 0 , x 2 - m x -2 m 2 ≤0 , 可 得 x- 2 m ( ) x+m ( ) ≤ 0 , 所以q: -m≤ x≤ 2 m。 若p 是q 的充分条件, 则 p? q 成立, 即 -m≤- 1 , 2 m≥3 2, { 解得 m≥ 1 。 7 数学部分·核心考点演练 高一使用 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知
( 2 ) 因为 p: - 1 < x≤ 3 2, 所以??p: x≤ - 1或x > 3 2。 若??p 是q 的 必 要 条 件, 则q? ??p 成 立, 所以2 m≤- 1或-m > 3 2。 显然这两个 不 等 式 均 与 m > 0 矛 盾, 故 不存在满足条件的 m 值。 3 1 . 提示: ( 1 ) 由 p 为 真 命 题, 可 知 Δ= a 2- 1 6 ≥ 0 , 所以a≤- 4或a≥4 , 所以 A= -∞, - 4 ( ] ∪ 4 , +∞ [ ) 。 ( 2 ) ? UA= - 4 , 4 ( ) 。 若x∈B 是x∈ ? UA 的 充 分 不 必 要 条 件, 则 B?? UA。 若 m > 1 , 则 3 m > 2+m, 可 得 B= { x | m+2 < x ≤3 m } , 所 以 - 4 ≤m+ 2 , 3 m < 4 , { 解 得 - 6 ≤m < 4 3, 所以1 < m < 4 3。 若 m < 1 , 则 3 m < 2+m, 可 得 B= { x | 3 m ≤ x < m + 2} ,所 以 - 4 < 3 m, m+ 2 ≤ 4 , { 解 得 -4 3 < m≤ 2 , 所以-4 3 < m < 1 。 综 上 可 得,实 数 m 的 取 值 范 围 是 -4 3, 1 ( ) ∪ 1 , 4 3 ( ) 。 3 2 . 提示: ( 1 ) 命题: “ ? x∈ x { - 1 ≤ x≤ 1 } , 都有不等式x 2- x-m < 0成立” 是真命 题, 可知x 2- x-m < 0在- 1 ≤ x≤ 1上恒成 立, 所以 m > ( x 2-x) m a x, x∈[ - 1 , 1 ] , 可得 m > 2 , 所以B= m { m > 2 } =( 2 , +∞) 。 ( 2 ) 不等式( x- 3 a) ( x- a- 2 ) < 0 。 ①当3 a > 2+ a, 即 a > 1 时, 集 合 A = x { 2 + a < x < 3 a} 。 若x∈A 是x∈B 的 充 分 不 必 要 条 件, 则 A 是B 的真子集, 即 A?B, 所以2 + a≥ 2 , 可得a > 1 。 ②当3 a=2+ a, 即 a=1 时, 集 合 A = ?, 满足题设条件。 ③当3 a < a+2 , 即 a < 1 时, 集 合 A = x { 3 a < x < 2 + a} , 若 x∈A 是x∈B 的充 分不必要条件, 则 A 是B 的真子集, 即 A? B, 所以 3 a≥ 2 , 此时2 3≤ a < 1 。 由①②③可得, 实数a∈ 2 3, +∞ [ ) 。 3 3 . 提 示 : ( 1) 因 为 -2 是 集 合 A 中 的 元 素 , 所 以 -2=a-3 或 -2=2 a-1。 若 -2= a-3, 则a=1, 此 时 集 合 A 含 有 两 个 元 素 -2, 1, 符 合 要 求 ; 若 -2=2 a-1, 则 a= -1 2, 此 时 集 合 A 中 含 有 两 个 元 素 -7 2, -2, 符 合 要 求 。 故 实 数 a 的 值 为 1 或 -1 2。 ( 2 ) 不能。理由如下: 若- 5为集合 A 中 的元素, 则a-3= -5 或 2 a-1= -5 。当 a- 3 = -5 时, 可 得a= -2 , 此 时 2 a-1= 2 ×( - 2 ) - 1= -5 , 显然不满足集合元素的 互异性; 当2 a- 1 =-5 时, 可得a= -2 , 此 时a- 3 = -5 , 显 然 不 满 足 集 合 元 素 的 互 异 性。故- 5不能为集合 A 中的元素。 3 4 . 提示: ①当a= 0时, 方程为一元一次 方程, 其根为x=-1 2, 符合要求。 ②当a≠ 0时, 方程为一元二次方程, 此 时a x 2+ 2 x+1=0 有 实 根 的 充 要 条 件 是 判 别式Δ≥ 0 , 可得4 - 4 a≥ 0 , 即a≤ 1 。设方程 a x 2+2 x+1=0 的 两 根 分 别 为 x 1, x 2, 则 x 1+ x 2=-2 a , x 1 x 2=1 a 。 方程a x 2+2 x+1=0 有 一 负 实 根 和 一 正实根的充 要 条 件 为 a≤ 1 , 1 a < 0 , { 即 a < 0 ; 方 程 a x 2+ 2 x+ 1 = 0有两个负实根的充要条件为 a≤ 1 , -2 a < 0 , 1 a > 0 , ì ? í ? ? ? ? ? ? 即0 < a≤ 1 。 综上所述, 方程a x 2+ 2 x+ 1 = 0至少有 一个负实根的充要条件是a≤ 1 。 作者单位: 江苏省盐城市时杨中学 ( 责任编辑 郭正华) 8 数学部分·核心考点演练 高一使用 2 0 2 2年7 — 8月 全科互知