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■赵庆伟 近几年高考非常重视考查同学们对图形 的正确理解能力, 以及善于从图形中捕 捉 数 据信息的能力。下面就统计问题中的“ 图” 与 “ 数” 进行举例剖析, 供同学们学习与参考。 一、 频率分布直方图 例1 为 了 解 甲、 乙 两 种 离 子 在 小 鼠 体 内的残留程度, 进行如下试验: 将2 0 0只小鼠 随机分成 A、 B 两组, 每组1 0 0只, 其中 A 组 小鼠给服甲离子溶液, B 组小鼠给服乙离子 溶液, 每组小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓 度相同。经过一段时间后, 用 某 种 科 学 方 法 测算出残留在小鼠体内离子的百分比。根据 试验数据, 得到甲、 乙两种离子残留百分比的 频率分布直方图, 分别如图1 , 图2所示。 图1 图2 记事件C 为“ 乙离子残留在体内的百分 比不 低 于 5 . 5 ” , 根 据 频 率 分 布 直 方 图 得 到 P( C) 的估计值为0 . 7 。 ( 1 ) 求乙离子残留百分比的频率分 布 直 方图中a, b 的值。 ( 2 ) 分别估计甲、 乙离子残留百分比的平 均值( 同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表) 。 解: ( 1 ) 由题意得0 . 7 = a+ 0 . 2 + 0 . 1 5 , 所 以a= 0 . 3 5 。由 0 . 0 5+ b+0 . 1 5=1-0 . 7 , 可 得b= 0 . 1 。 ( 2 ) 估计甲离子残留百分比的平均 值 为 2 × 0 . 1 5+3×0 . 2+4×0 . 3+5×0 . 2 +6× 0 . 1 + 7 × 0 . 0 5 = 4 . 0 5 。 估计乙离子残留百分比的平均值为3 × 0 . 0 5 + 4 × 0 . 1 + 5 × 0 . 1 5 + 6 × 0 . 3 5 + 7 × 0 . 2 + 8 × 0 . 1 5 = 6 。 二、 茎叶图 例2 某 工 厂 为 提 高 生 产 效 率, 开 展 技 术创新活动, 提出了完成某项生产任务 的 两 种新的生产方式。为比较两种生产方式的效 率, 选取4 0名工人, 将他们随机分成两组, 每 组2 0人, 第一组工人用第一 种 生 产 方 式, 第 二组工人用第二种生产方式。根据工人完成 生产任务的工作时间( 单位: m i n ) 绘制了茎叶 图, 如图3所示。 图3 ( 1 ) 根据茎叶图判断哪种生产方式 的 效 率更高。请说明理由。 ( 2 ) 求4 0名工人完成生产任务所需时间 的中位数 m。 解: ( 1 ) 第二种生产方式的效率更高。理 由如下。 ①由茎叶图可 知, 用 第 一 种 生 产 方 式 的 工人中, 有7 5 %的工人完成生产任务所需时 间至少8 0m i n , 用第二种生产方式的工人中, 有7 5 % 的 工 人 完 成 生 产 任 务 所 需 时 间 至 多 7 9m i n 。因此第二种生产方式的效率更高。 ②由茎叶图可 知, 用 第 一 种 生 产 方 式 的 工 人 完 成 生 产 任 务 平 均 所 需 时 间 高 于 8 0m i n ; 用第二 种 生 产 方 式 的 工 人 完 成 生 产 任务平均所需时间低于 8 0m i n , 因此第二种 生产方式的效率更高。 ( 2 ) 由茎叶图知4 0名工人完成生产任务 所需时间的中位数 m= 7 9 + 8 1 2 = 8 0 。 作者单位: 山东省平阴县第一中学 ( 责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年5月 全科互知 

的平均数, 即为 1 4 + 1 5 2 = 1 4 . 5 。 因为8 6 %× 2 0 = 1 7 . 2 , 所以第8 6百分位 数为第1 8个数据, 即为1 7 。 例5 已知一组数据按从小到大的顺序 排列为1 1 , 1 2 , 1 5 , x, 1 7 , y, 2 2 , 2 6 , 经过计算, 该组数据的5 0 %分位数是1 6 , 7 5 %分位数是 2 0 , 则x= , y= 。 因 为 5 0 % ×8=4 , 所 以 5 0 %分位数是( x+ 1 7 ) ÷ 2 = 1 6 , 解得x= 1 5 。 因为7 5 % ×8=6 , 所 以 7 5 % 分 位 数 是 ( y+ 2 2 ) ÷ 2 = 2 0 , 解得y= 1 8 。 评注: 计算一组n 个数据的第 p 百分位 数的三个步骤: 第1步, 按从小到大排列原始 数据; 第2步, 计算i = n× p%; 第3步, 若i不 是整数, 而大于i的比邻整数为j , 则第p 百分 位数为第j 项数据, 若i是整数, 则第p 百分 位数为第i项与第( i + 1 ) 项数据的平均数。 五、 方差或标准差 例6 样本中共有5个个体, 其值分别为 a, 0 , 1 , 2 , 3 。若该样本的平均数为1 , 则样本 方差为( ) 。 A. 6 5 B . 6 5 C . 2 D. 2 由题 意 可 知 样 本 的 平 均 数 为 1 , 所 以a+ 0 + 1 + 2 + 3 5 =1 , 解得a = -1 。 所 以 样 本 的 方 差 为 s 2 = 1 5[ ( - 1 - 1 ) 2 + ( 0-1 ) 2 + ( 1-1 ) 2 + ( 2- 1 ) 2+( 3 - 1 ) 2] = 2 。应选 D。 评注: 方差或标 准 差 是 描 述 一 组 数 据 的 波动性大小, 方差或标准差越小, 这组数据越 稳定。 六、 特征数的综合运用 例7 由正整数组成的 一 组 数 据 为 x 1, x 2, x 3, x 4, 其平均数和中位数都是2 , 且标准 差等于1 , 则这组数据为 。( 按照从小到 大顺序排列) 由 题 意 得x 1+ x 2+ x 3+ x 4 4 = 2 , x 2+ x 3 2 = 2 , 所以x 1+ x 4= x 2+ x 3= 4 。 因为x 1, x 2, x 3, x 4 都是正整数, 所以只 有1 , 3组合或2 , 2组合。 若是2 , 2 组 合, 不 妨 设 x 1 =x 4 =2 。由 标准 差 等 于 1 , 可 得s 2 = 1 4 × [ ( x 1 -2 ) 2 + ( x 2- 2 ) 2+( x 3-2 ) 2+( x 4-2 ) 2] =1 , 所 以 ( x 2- 2 ) 2+( x 3- 2 ) 2= 4 , 而x 2+ x 3 2 = 2 , 此时 x 2= 0 , x 3= 4或x 2= 4 , x 3= 0 , 不满足条件, 所以x 1 与x 4, x 2 与x 3 都是1 , 3组合。因此 这组数据为1 , 1 , 3 , 3 。 评注: 理解平均数, 中位数, 方差或标准 差的含义是解题的关键。 1 . 一组观察值4 , 3 , 5 , 6出现的次数分别 是3 , 2 , 4 , 2 , 则样本平均数为( ) 。 A. 4 . 5 5 B . 4 . 5 C . 1 2 . 5 D. 1 . 6 4 提 示:由 题 意 可 得 样 本 平 均 数 = 4 × 3 + 3 × 2 + 5 × 4 + 6 × 2 3 + 2 + 4 + 2 ≈ 4 . 5 5 。应选 A。 2 . 从某公司生产的产品中, 任 意 抽 取 1 2 件, 得到它们的质量( 单位: k g ) 如下: 7 . 9 , 9 , 8 . 9 , 8 . 6 , 8 . 4 , 8 . 5 , 8 . 5 , 8 . 5 , 9 . 9 , 7 . 8 , 8 . 3 , 8 。 求这组数据的四分位数。 提示: 这组数据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列为7 . 8 , 7 . 9 , 8 , 8 . 3 , 8 . 4 , 8 . 5 , 8 . 5 , 8 . 5 , 8 . 6 , 8 . 9 , 9 , 9 . 9 。 1 2 × 2 5 % =3 , 所以它的第 2 5 百分位数 为第3 , 4个数的平均数 8 + 8 . 3 2 = 8 . 1 5 。 1 2 × 5 0 % =6 , 所以它的第 5 0 百分位数 为第6 , 7个数的平均数 8 . 5 + 8 . 5 2 = 8 . 5 。 1 2 × 7 5 % =9 , 所以它的第 7 5 百分位数 为第9 , 1 0个数的平均数 8 . 6 + 8 . 9 2 = 8 . 7 5 。 作者单位: 甘肃省临夏州临夏市河州中学 ( 责任编辑 郭正华) 5 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年5月 全科互知 

据中的每一个数据都减去8 0 , 平均数也减少 8 0 , 但方差不变。 因为新数据的平均值是1 . 2 , 方差是4 . 4 , 所以原 数 据 的 平 均 值 和 方 差 分 别 是 8 1 . 2 , 4 . 4 。 本题 考 查 平 均 数 和 方 差 的变 化 特 点。若 原 数 据 都 乘 以同一个数, 则所得数据的平均数也乘 以 同 一个数, 而方差要乘以这个数的平方。 三、 利用数字特征反推原始数据 例3 为了考查某校各班参加课外小组 的人数, 从全校随机抽取5个班级, 把每个班 级参加该小组的人数作为样本数据, 已 知 样 本平均数为7 , 样本方差为4 , 且样本数据互 不相同, 则样本数据中的最大值为( ) 。 A. 8 B . 9 C . 1 0 D. 1 1 分析: 本题中的样本数据较少, 根据已知 条件可列出方程组, 通过观察和配凑找 到 方 程组的解。 解: 设这5个班级的人数分别为x 1, x 2, x 3, x 4, x 5。不妨设x 1 < x 2 < x 3 < x 4 < x 5。 由题意得x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5= 3 5 , 且 ( x 1- 7 ) 2 + ( x 2 -7) 2 + ( x 3 -7) 2 + ( x 4 - 7 ) 2+( x 5-7 ) 2 =2 0 。若 样 本 数 据 中 的 最 大 值为1 1 , 则( x 1- 7 ) 2+( x 2-7 ) 2+( x 3-7 ) 2 +( x 4-7 ) 2=4 , 而样本数据互不相同, 显然 此式不 成 立; 若 样 本 数 据 为 4 , 6 , 7 , 1 0 , 代 入 验证均成立。故样本数据中的最大值为1 0 。 应选 C 。 或者, 由题意得x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5= 3 5 , 且( x 1 -7) 2 + ( x 2 -7) 2 + ( x 3 -7) 2 + ( x 4- 7 ) 2+( x 5- 7 ) 2= 2 0 。因为5个整数的 平方和是2 0 , 且这5个整数互不相等, 所以只 能配凑出一种结果, 即( - 3 ) 2+( - 1 ) 2+ 0 2+ 1 2+ 3 2= 2 0 , 所以x 1= 4 , x 2= 6 , x 3= 7 , x 4= 8 , x 5= 1 0 。应选 C 。 解答 本 题 的 关 键 是 利 用 配凑法, 反推原始数据。 四、 巧妙构造函数求样本特征数 例4 已知总体的各个个体的值由小到 大依次为2 , 3 , 3 , 7 , a, b, 1 2 , 1 4 , 1 7 , 2 0 , 且 总 体的中 位 数 是 1 1 , 则 总 体 方 差 的 最 小 值 为 ( ) 。 A. 3 2 B . 3 4 C . 3 4 . 2 D. 3 4 2 分析: 数据的总体方差可由数值a, b 来 表示, 再能挖掘到a+ b= 2 2这一条件, 该最 值便可借助二次函数求出。 解: 因 为 总 体 的 中 位 数 是 1 1 , 所 以 a+ b 2 = 1 1 , 即a+ b=2 2 。据 此 可 得x=1 0 , 所以总 体 方 差s 2= 1 1 0×[ 8 2+7 2+7 2+3 2+ ( a- 1 0 ) 2+( b-1 0 ) 2+2 2+4 2+7 2+1 0 2] = 3 4 +1 1 0 ×[ ( a- 1 0 ) 2+( b- 1 0 ) 2] 。 令f( a, b) = ( a-1 0 ) 2 + ( b-1 0 ) 2, 将 b= 2 2 - a 代 入 并 整 理 得f( a, b) =g( a) = 2 ( a- 1 1 ) 2+ 2 。 显然, 当a= b= 1 1时, g( a) 取得最小值 2 , 即f( a, b) 取得最小值2 。故s 2 的最小值 为3 4 . 2 。应选 C 。 本题巧妙构造二次函数, 再利用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最值。 已知一组数据 x 1, x 2, x 3, …, x n 的平均 数为 x, 方差为s 2。若3 x 1+ 1 , 3 x 2+ 1 , 3 x 3+ 1 , …, 3 x n+ 1的平均数比方差大4 , 则s 2- x 2 的最大值为 。 提示: 设新 数 据 3 x 1 +1 , 3 x 2 +1 , 3 x 3 + 1 , …, 3 x n+ 1的平均数为 x 1, 方差为s 2 1, 可得 x 1= 3 x+ 1 , s 2 1= 9 s 2。由新数据的平均数比 方差大4 , 可 得 3x+1=9 s 2 +4 , 所 以s 2 = 1 3 x-1 3, 所 以 s 2 -x 2 = 1 3x - 1 3 -x 2 = - x-1 6 ( ) 2 - 1 1 3 6 。由s 2=1 3 x-1 3≥ 0 , 可得 x≥ 1 。所以当x=1 时, 可得s 2-x 2 的最大 值为- 1 -1 6 ( ) 2 - 1 1 3 6 =- 1 。 作者单位: 江苏省盐城市时杨中学 ( 责任编辑 郭正华) 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年5月 全科互知