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■孙建国 空间几何体中的有关表面积与体积问题 是高考的一个热点。这类问 题, 常 用 的 解 题 方法有三种, 即 公 式 法, 构 造 法, 参 数 法。下 面就空间几何体中的有关表面积与体积问题 进行举例分析, 供同学们学习与参考。 一、 公式法 例1 如 果 有 一 个 正 四 棱 柱, 它 的 体 积 是1 6 , 它的高是4 , 它的八个顶点都在一个球 面上, 那么这个球的表面积为 。 解: 该正 四 棱 柱 是 一 个 长 方 体。由 题 意 知它的底面 积 是 4 , 所 以 底 面 正 方 形 的 边 长 是2 , 它的 外 接 球 直 径 就 是 长 方 体 的 体 对 角 线长。不妨设外接球的半径为 R, 外 接 球 的 表面积为S, 则2 R= 2 2+ 2 2+ 4 2 = 2 6, 所 以 R= 6, 所以所求表面积S= 4 π R 2= 2 4 π 。 评析: 公式法是 计 算 几 何 体 表 面 积 与 体 积的最基本方法, 如边长为a 的正方体的外 接球与内切球的半径分别为 3 2a 和1 2 a。要 熟记一些重要结论, 如棱长为a 的正四面体 的高为 6 3a, 体积为 2 1 2 a 3 等。 二、 构造法( 或补形法) 例2 如图1所示, 在等腰梯形 A B C D 中, A B= 2 D C= 2 , ∠D A B= 6 0 ° , 边 A B 的中 点是E, 现 将 △A D E 与 △B E C 分 别 沿 虚 线 E D 与E C 向上折起, 使得 A、 B 两点都与点 P 重 合, 那 么 三 棱 锥 P - D C E 的 外 接 球 的 体 积是( ) 。 图1 A. 4 3 2 7π B . 6 2π C . 6 8π D. 6 2 4 π 解: 由 题 意 知 折 叠 后 的 三 棱 锥 P - D C E 是正四面 体 ( 图 略) , 且 它 的 棱 长 为 1 。把 正 四面体补形成正方体, 则此正方体的棱 长 为 2 2 , 故正方体的对角线长为 6 2 。因为正方体 的外接球也为此正四面体的外接球, 所以外接 球的半径为 6 4 , 所以所求体积V球 =4 3π R 3= 4 3 π 6 4 ? è ? ? ? ÷ 3 = 6 8π 。应选 C 。 评析: 解 题 时, 将 正 四 面 体 构 造 成 正 方 体, 就容易求出外接球的体积了。 三、 参数法 例3 已 知 有 两 个 高 为 2 a , 且 完 全 一 样 的直三棱柱, 3 a, 4 a, 5 a( a > 0 ) 是它的底面三 角形的三条边长。现用它们 作 为 材 料, 拼 成 一个三棱柱或四棱柱, 假如在拼出的所 有 结 果中, 一个四棱柱的全面积最小, 那么实数a 的取值范围是 。 解: 易得直三棱柱的底面面积是 6 a 2, 侧 面积 分 别 是 6 , 8 , 1 0 。 当 拼 成 三 棱 柱 时, 把 上、 下底面结合, 它的全面积 最 小, 那 么 全 面 积是2 × 6 a 2+ 2 ( 1 0 + 8 + 6 ) = 1 2 a 2+ 4 8 ; 当拼 成四棱柱时, 把两个面积最大的侧面结合, 它 的全面 积 最 小, 那 么 全 面 积 为 ( 8+6 ) ×2+ 4 ×6 a 2 =2 8+2 4 a 2。 由 1 2 a 2 +4 8 > 2 8+ 2 4 a 2, 可得a 2 < 5 3, 所以0 < a < 1 5 3 , 即所求 的实数a∈ 0 , 1 5 3 ? è ? ? ? ÷ 。 评析: 所谓参数法, 其实就是方程与函数 思想在这类问题中的应用。 作者单位: 江苏省太仓高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年4月 全科互知
■甄新锋 线面平行是指直线与平面平行, 是一种 常见的 空 间 位 置 关 系。 证 明 直 线 与 平 面 平 行, 关键是在所给平面内寻找一条与已 知 直 线平行的直线。下面就线面平行中平行关系 的寻找方法进行归纳, 以期对同学们探 索 线 面平行有所帮助。 一、 利用三角形 的 中 位 线 定 理 寻 找 线 线 平行 在证明线面平 行 时, 可 以 构 造 合 适 的 三 角形, 利用三角形的中位线定理和线面 平 行 的判定定理证明线面平行。 例 1 如 图 1 所 示,在 三 棱 柱 A B C - A1 B 1 C 1 中, 侧 棱 A A1 ⊥ 底 面 A B C, A B⊥B C, D 为A C 的中点。求证: A B 1∥平 面 B C 1D。 图1 证明: 设 B 1 C 与B C 1 交于点 O。 因为平面 B C C 1 B 1 是平行四边形, 所 以 O 是B C 1 的中点。 又D 是A C 的中点, 所以O D 是△A C B 1 的中位线, 所以 O D∥A B 1。 因 为 O D ? 平 面 B C 1D, A B 1 ? 平 面 B C 1D, 所以 A B 1∥平面 B C 1D。 方法点拨: 在构造三角形的中位线时, 要 注意关注中点、 线段的垂直平分线、 三角形的 重心等信息, 结合图形的特征寻找中位线。 二、 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 寻 找 线 线 平行 在证明 线 面 平 行 时, 大 胆 平 移, 合 理 猜 想, 构造平行四边形, 利用平行四边形的性质 证明直线与直线平行, 即得直线与平面平行。 例2 如 图 2 , 在 四 棱 锥 P - A B C D 中, A D∥B C, A D =2 B C, M 为 P D 的 中 点, 证 明: C M ∥平面 P A B。 图2 证明: 取 P A 的中点 N。 因为 M , N 分 别 为 P D, P A 的 中 点, 所 以 MN∥A D 且 MN=1 2A D。 由已知条件得 B C∥A D 且B C=1 2A D, 所以 B C ∥MN 且 B C =MN, 所 以 四 边 形 B C MN 为平行四边形, 可得C M ∥B N。 因 为 C M ? 平 面 P A B, B N ? 平 面 P A B, 所以C M ∥平面 P A B。 方法点拨: 通过直观观察, 若平面内的一 条直线与平面外的一条直线长度相等, 一 般 猜想构造平行四边形, 这时利用平行四 边 形 对边平行得出线线平行, 进而得到线面平行。 三、 利用相似比寻找线线平行 如果一条直线截三角形的 两 边( 或 两 边 的延长线) 所得的对应线段成比例, 那么这条 直线平行于三角形的第三边, 这也是得 到 线 面平行的一种有力工具。 例3 如 图 3 所 示, 在 五 棱 台 A B C D E - A1 B 1 C 1D1 E 1 中, F, G 分 别 是 A A1 和 B B 1 上的点( 点 F 不与A, A1 重合, 点 G 不与B, B 1 重 合 ) , 且 A F F A1 = B G G B 1 , 则 F G 与 平 面 A B C D E的位置关系是( ) 。 4 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年4月 全科互知
图3 A. 平行 B . 相交 C . F G?平面 A B C D E D. 无法判断 解: 在五棱台 A B C D E - A1 B 1 C 1D1 E 1 中, A B∥A1 B 1, 所 以 四 边 形 A A1 B 1 B 是 梯 形。 因为 A F F A1 = B G G B 1 , 所 以 F G ∥A B。 又 因 为 F G?平 面 A B C D E, A B? 平 面 A B C D E, 所 以 F G∥平面A B C D E。应选 A。 方法点 拨: 利 用 比 值 关 系, 寻 找 线 线 平 行, 进而得到线面平行。 四、 利用直线与 平 面 平 行 的 性 质 定 理 寻 找线线平行 利用直线与平面平行的性质定理得到直 线与直线平行, 进而得到直线与平面平行。 例4 如 图 4 所 示, A B C D 是 平 行 四 边 形, 点P 是平面 A B C D 外一点, M 是P C 的中 点, 在 D M 上取一点G, 过G 和 A P 作平面交 平面B D M 于G H, 求证: G H∥平面P A D。 图4 证明: 设 A C 与B D 交于点O。 在△A P C 中, M O 是△A P C 的中位线, 所 以 M O ∥P A。 因 为 P A ? 平 面 M B D, M O?平面 M B D, 所以 P A∥平面 M B D。 因 为 平 面 G A P ∩ 平 面 B DM =G H , P A?平面G A P, 所以 P A∥ G H 。 又G H ? 平 面 P A D, P A? 平 面 P A D, 所以G H ∥平面 P A D。 方法点拨: 先证明线面平行, 再利用线面 平行的性质定理, 得到线线平行, 进而得到线 面平行。 1 . 在三棱锥A - B C D 中, E, F 分别是A B 和 B C 上的点, 若 A E∶E B= C F∶F B= 2 ∶ 5 , 则 直线A C 与平面D E F 的位置关系是( ) 。 A. 平行 B . 相交 C . 直线 A C 在平面D E F 内 D. 不能确定 提示: 由 A E∶E B= C F∶F B= 2 ∶ 5 , 可 得E F∥A C。因为E F?平面D E F, A C?平 面 D E F, 所以 A C∥平面 D E F。应选 A。 2 . 已知三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的体积是V, 两点P, Q 分别位于侧棱A A 1, C C 1 上, 且P A= Q C 1, 那么四棱锥B - A P Q C 的体积是( ) 。 A. V 6 B . V 4 C . V 3 D. V 2 提示: 利用特殊化法求 四 棱 锥 B - A P Q C 的体积。取三棱柱 A B C - A1 B 1 C 1 为直棱柱, 且 P, Q 为侧棱中点, 如图5所示。 图5 据 此 可 知, 四 棱 锥 B - A P Q C 的 体 积 VB - A P Q C =2 VB - A Q C =2 VQ - A B C =2· 1 3S△A B C · Q C=1 3 S△A B C · C 1 C=V 3。应选 C 。 作者单位: 浙江 省 绍 兴 市 新 昌 县 新 昌 技 师学院沃洲校区 ( 责任编辑 郭正华) 5 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年4月 全科互知
■王先阳 空间几何体主要研究空间中点、 线、 面之 间的位置关系, 与空间图形 有 关 的 线 段、 角、 面积、 体积等最值问题是高 考 的 常 考 点。此 类问题涉及知识面广, 灵活性较大, 解题时需 要较强的空间想象能力和思维能力。 一、 线段问题 例1 如 图 1 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 A B C D - A1 B 1 C 1D1中, E 为B C 的中点, 点 P 在线段 D1 E 上, 则 点 P 到 直 线C C 1 的 距 离 的最小值为( ) 。 图1 A. 2 5 5 B . 1 C . 2 2 D. 5 5 过 点 E 作 E E 1 ⊥ 平 面 A1 B 1 C 1D1 交 B 1 C 1 于 E 1, 过点 P 作PH ⊥D1 E 1 于 H , 作P P 1⊥ C C 1 于P 1。 易知四 边 形 P P 1 C 1H 是 矩 形, 点 P 在 线 段 E D1 上 运 动, 点 P 到 直 线 C C 1 的 距 离 是 C 1H 。 当 C 1H 为 R t △ C 1D1 E 1 的 底 边 D1 E 1 上的高 时, C 1H 最 小, 即 C 1H 为 点 P 到直线C C 1 的距离的最小值。 依题 意 可 得, C 1D 1 =2 , C 1 E 1 =1 , 所 以 D 1 E 1= 5。在 R t△ C 1D 1 E 1 中, 由1 2C 1D 1× C 1 E 1=1 2D1 E 1× C 1H , 可得1 2× 2 × 1 =1 2× 5× C 1H , 解得 C 1H =2 5 5 。故 点 P 到 直 线C C 1 的距离的最小值为 2 5 5 。应选 A。 评注: 求距离的最值问题, 要联想到两点 间的线段、 点到直线的距离、 三角形的高等。 二、 角度问题 例2 已知两异面直线a, b 所成的角为 π 3, 直线l 分别与直线a, b 所成的角都是θ, 则θ 的取值范围是 。 作平面α, 在α 内过点O 画 出两 条 直 线 a _, b _, 使 a _∥a, b _∥ b( 利用异 面 直 线 平 移) 。因 为 两 异 面 直 线a, b 所成的角为π 3, 所以当直线l平分a _, b _所成的角时, θ 最小, 最小角θ=π 6; 当直线 l ⊥ α 时, θ 最大, 最大角θ=π 2。 故当l 绕 交 点 从 角 平 分 线 转 动 到l⊥ α 时, θ 从π 6变化到π 2, 即θ∈ π 6, π 2 [ ] 。 评注: 空间两条 异 面 直 线 所 成 角 的 取 值 范围是 0 , π 2 ( ] , 直线与平面所成角的取值范 围是 0 , π 2 [ ] , 二面角的取值范围是[ 0 , π ] 。 三、 面积问题 例3 如 图 2 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 A B C D - A1 B 1 C 1D1中, 若 G, E 分 别 是 B B 1, C 1D1 的中点, 点 F 是正方形 A D D1A1 的中 心, 则四边形 B G E F 在正方体侧面及底面共 6个面内的射影图形面积的最大值是 。 图2 易得四 边 形 B G E F 在 前 后 侧面 上 的 射 影 图 形 面 积 相 等。 点 E 在 前 面 侧 面 上 的 投 影 是 A1 B 1 的 中 点 E 1, 点F 在前面侧面上的投影是A A1 的中点 6 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年4月 全科互知
F 1, 易得四边形 B G E 1 F 1 的面积为1 2。 同理可得, 四边形 B G E F 在 左 右 侧 面 上 的射影图形面积相等且等于1 4, 四边形 B G E F 在上、 下底面的射影图形面积相等且等于3 8。 综上可得, 四边形 B G E F 在前后侧面上 的射影图形面积最大, 其最大值为1 2。 评注: 解 答 本 题 的 关 键 是 找 到 四 边 形 B G E F 的四个顶点在各个侧面上的投影点的 位置, 再根据正方体的性质计算其射影 图 形 面积。需要注意的是正方体有6个面, 共有6 种情况。 四、 体积问题 例4 我国古代的数学名著《 九章算术》 中有这样一些数学用语, “ 堑堵” 意指底面为 直角三角形, 且侧棱垂直于底面的三棱柱, 而 “ 阳马” 指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面 的四棱锥。现有一如图 3 所示的“ 堑堵” , 即 三 棱 柱 A B C - A1 B 1 C 1, 其 中 A C ⊥ B C, 若 A A1=A B= 1 , 当“ 阳马” ( 四棱锥B - A1A C C 1) 体积最大时, “ 堑堵” ( 三 棱 柱 A B C - A1 B 1 C 1) 的表面积为( ) 。 图3 A. 2+ 1 B . 3+ 1 C . 2 2+ 3 2 D. 3+ 3 2 由 题 意 知, △A B C 为 直 角 三 角 形, 且 ∠A C B =9 0 ° 。 设 A C= x, 则B C= 1 - x 2 ( 0 < x < 1) , 所 以 VB - A 1A C C 1 = 1 3S四边形A 1A C C 1 ×B C = 1 3 ×1 ×x× 1 - x 2 = 1 3 × x × 1 - x 2 ≤ 1 3 × x 2+ 1 - x 2 2 = 1 6 ( 当 且 仅 当 x= 1 - x 2 , 即 x= 2 2 时等号成立, VB - A 1A C C 1 的值最大) , 此时 B C= 2 2 , 三棱柱 A B C - A1 B 1 C 1 的表面积 S= 2 ×1 2× 2 2 × 2 2 +2× 2 2 ×1+1×1= 1 2 + 2+ 1 = 3 + 2 2 2 。应选 C 。 评注: 当两个正数的和为定值, 求这两个正 数的积的最大值时, 用基本不等式: a > 0 , b > 0 , 则 a b≤ a+ b 2 , 当且仅当a= b时取等号。 已知直 三 棱 柱 A B C - A1 B 1 C 1 的 侧 棱 长 为6 , 且底面是边长为2的正三角形, 用一平 面截此棱柱, 与侧棱 A A1, B B 1, C C 1 分 别 交 于三点 M , N, Q, 若 △MN Q 为直角三角形, 则该直角三角形斜边长的最小值为( ) 。 A. 2 2 B . 3 C . 2 3 D. 4 提示: 如 图 4 所 示, 不 妨 设 点 N 在 点B 处, AM = h, C Q=m。 图4 易 得 M B 2 =h 2 +4 , B Q 2 = m 2 +4 , MQ 2=( h-m) 2 +4 。△MN Q 为 直 角 三 角 形, 由 M B 2 =B Q 2 +MQ 2, 可 得 m 2 -h m + 2 = 0 。因为Δ= h 2- 8 ≥ 0 , 所以h 2≥ 8 。所以 该直角 三 角 形 斜 边 M B = 4 + h 2 ≥2 3。 应选 C 。 作者单位: 湖北省巴东县民族职业高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年4月 全科互知
■姚 洁 平 面 图 形 的 折 叠 问 题 是 高 考 的 常 考 题 型, 解答这类问题的关键是要分清折叠 前 后 图形( 折叠前的平面图形和折叠后的空间图 形) 的各元素间的位置关系和数量关系。 一、 折叠成四面体求体积 例1 将 长、 宽 分 别 为 4 和 3 的 长 方 形 A B C D 沿对角线 A C 折成 二 面 角, 得 到 四 面 体A - B C D, 则四 面 体 A - B C D 的 外 接 球 的 体 积为 。 解: 设 A C 与B D 相交于O, 折叠起来后 仍然有 O A=O B=O C=O D, 所以外接球的 半径r= 3 2+ 4 2 2 = 5 2, 所 以 四 面 体 A - B C D 的外接球的体积V= 4 π 3 × 5 2 ( ) 3 = 1 2 5 π 6 。 评注: 求球的体 积 的 关 键 是 根 据 已 知 条 件以及图形的性质找到球心, 确定球的半径。 二、 折叠成正方体, 求异面直线所成的角 例2 一 个 正 方 体 的 展 开 图 如 图 1 示, A, B, C, D 为原正方体的顶点, 则在原来 的 正方体中, A B 与C D 所成的角为( ) 。 图1 A. 3 0 ° B . 4 5 ° C . 6 0 ° D. 9 0 ° 解: 把展开图中 的 各 正 方 形 按 图 2 所 示 的方式分别作 为 正 方 体 的 前、 后、 左、 右、 上、 下面还原, 得到图3所示的直观图。 图2 图3 在图 3 中, 因 为 B E∥C D, 所 以 ∠A B E 就是 A B 与C D 所 成 的 角。 因 为 △A B E 为 等边三角形, 所以∠A B E= 6 0 ° 。应选 C 。 评注: 判断异面直线的两种方法: 判定定 理法, 平面外一点与平面内一点的连线 和 平 面内不经过该点的直线是异面直线; 反证法, 证明两直线不可能平行、 相交或证明两 直 线 不可能共面, 从而可得两直线异面。 三、 折叠成四棱锥, 证明面面平行 例3 如 图 4 , 矩 形 A B C D 中, E 为 边 A B 的 中 点, 将 △A D E 沿 直 线 D E 翻 转 成 △A1D E。若 M 为 线 段 A1 C 的 中 点, N 为 D C 的中点, 则 在 △A D E 翻 转 过 程 中, 平 面 A1D E 与平面 MN B 的位置关系是( ) 。 图4 A. 垂直 B . 相交不垂直 C . 平行 D. 无法确定 解: 因 为 M 为 线 段 A1 C 的 中 点, N 为 D C 的中 点, 所 以 MN ∥A1D。因 为 MN ? 平面 A1D E, A1D?平面 A1D E, 所以 MN ∥ 平面 A1D E。同理可得, N B∥平面 A1D E。 又 因 为 MN ∩ N B = N,所 以 平 面 MN B∥平面 A1D E。应选 C 。 评注: 证明面面平行的五种常用方法: 利 用面面平行的定义; 利用面面平行的判 定 定 理, 如果一个平面内有两条相交直线都 平 行 于另一个平面, 那么这两个平面平行; 利用垂 直于同一条直线的两个平面平行; 两个 平 面 同时平行于第三个平面, 那么这两个平 面 平 行; 利用“ 线线平行” “ 线面平行” “ 面面平行” 的相互转化。 四、 折叠成三棱锥, 证明线面垂直 例4 如图5 , 在正方形S G 1 G 2 G 3 中, E, 8 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2 0 2 2年4月 全科互知