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■党顶尊 借助三角函数的定义推导出同角三角函 数关系, 揭示了同角的正弦、 余 弦、 正 切 之 间 沟通的途径, 凸显方程组观念下运用“ 平方与 商数” 关系简化求解三角问题的思维方法。 考向1 : s i n α, c o s α, t a n α 的“ 知一求二” 问题 例 1 ( 1 ) 已 知 s i n θ=m- 3 m+ 5 , c o s θ= 4 - 2 m m+ 5 , 且θ∈ π 2, π , 则 m 的 取 值 集 合 为 。 ( 2 ) 已 知 t a nα= 3, π < α < 3 π 2 , 那 么 c o s α- s i n α 的值是 。 利用 平 方 关 系 与 商 数 关 系 求解。 ( 1 ) 结合已 知 条 件, 利 用 s i n 2 θ+c o s 2 θ= 1 , 代入解得 m= 0或 m= 8 。 当 m= 0 时, s i n θ= - 3 5, c o s θ= 4 5, 这 与已知 条 件 矛 盾; 当 m =8 时, s i nθ= 5 1 3 , c o s θ=- 1 2 1 3 , 符合题意。故 m 的取值集合为 { 8 } 。 ( 2 ) 由 题 意 可 得 s i n α c o s α= 3, s i n 2 α+ c o s 2 α= 1 , 解 得 s i n α= 3 2 , c o s α=1 2 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 或 s i n α=- 3 2 , c o s α=-1 2。 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 因为π < α < 3 π 2 , 所以 s i n α=- 3 2 , c o s α=-1 2, ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 所以 c o s α- s i n α=- 1 + 3 2 。 感悟: 同角关系的作用是“ 知一求二” , 商 数关系s i n α c o s α= t a n α 实现角α 的弦切互化, 平 方关系s i n 2 α+ c o s 2 α= 1实现角α 的正弦、 余 弦的互化。当角α 所在的象限不明 确 时, 要 进行分类讨论。 变式1 : 已知α∈ -π 2, π 2 , 且 2 ( c o s 2 α - s i n 2 α) + 1 5 s i n α+ 2 = 0 , 则t a n α=( ) 。 A. - 1 5 1 5 B . 1 5 1 5 C . - 1 5 D. 1 5 提示: 由2 ( c o s 2 α- s i n 2 α) + 1 5 s i n α+ 2 = 0 , 可 得 2( 1-2 s i n 2 α) +1 5 s i nα+2=0 , 即 4 s i n 2 α- 1 5 s i n α-4=0 , 解得 s i n α= - 1 4 或 s i n α=4( 舍 去) 。因 为α∈ -π 2, π 2 , 所 以 c o sα = 1 - s i n 2 α = 1 5 4 , 所 以 t a nα = s i n α c o s α=- 1 5 1 5 。应选 A。 考向2 : 正余弦的一次分式的齐次式, 可 利用商数关系化弦为切 例2 已 知t a n α=2 , 则s i n α+ c o s α s i n α- c o s α的 值为 。 正余 弦 的 一 次 分 式 的 齐 次 式, 可利用商数关系化弦为切求 解。 原式= t a n α+ 1 t a n α- 1 = 2 + 1 2 - 1 = 3 。 感悟: 当已知条件是正切的形式时, 也可以 进行切化弦, 即 a± b t a n α c± d t a n α= a c o s α± b s i n α c c o s α± d s i n α。 变式2 : 已知s i n α+ c o s α= 3 c o s α t a n α, 则t a n α= 。 提示: 由 s i nα+c o s α=3 c o s α t a nα= 3 s i n α, 可得t a n α=1 2。 4 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 2年1 2月 全科互知 

■陈伟斌 张启兆 “ 切弦互化” 是三角函数“ 名变换” 的常见 方式, 即“ 化切为弦” 和“ 化弦为切” , 前者一般 用于同一个三角表达式中出现多个三角函数 名称的情况, 后者主要针对正弦函数和 余 弦 函数的齐次式。活用“ 切弦互化” , 可以 方 便 地解决三角函数问题。 一、 求值 例1 已知t a n α= 6 , 则4 s i n 2 α+ c o s 2 α s i n α c o s α 的 值为 。 分析: 三角函数名称存在的差异, 需要化 异为同, 可 以 选 择 “ 化 切 为 弦” , 也 可 以 选 择 “ 化弦为切” 。 解 法 1 : ( 化 切 为 弦 ) 由 t a nα =6 得 s i n α= 6 c o s α, 将 其 代 入4 s i n 2 α+ c o s 2 α s i n α c o s α , 可 得 4 s i n 2 α+ c o s 2 α s i n α c o s α = 4 ( 6 c o s α) 2+ c o s 2 α 6 c o s α· c o s α = 1 4 5 6 。 解法2 : ( 化弦为切) 由4 s i n 2 α+ c o s 2 α s i n α c o s α , 可 知分子、 分母是关于s i n α 与c o s α 的二次齐 次式, 因此将分子、 分母直接化为正切的形式 即可。 4 s i n 2 α+ c o s 2 α s i n α c o s α = 4 t a n 2 α+ 1 t a n α = 1 4 5 6 。 评注: 利用切化弦得到s i n α= 6 c o s α, 再 整体代入求解。或者, 将目标式弦化切, 这样 可简化运算, 获得事半功倍的效果。 二、 判断角所在的象限 例 2 若 s i n θ c o sθ < 0 ,则 角 θ 在( ) 。 A. 第一、 二象限 B . 第一、 三象限 C . 第一、 四象限 D. 第二、 四象限 分析: 已知s i n θ c o s θ < 0 , 可化异为同, 选 择“ 化弦为切” 求解。 解: 因 为 s i nθ c o sθ = s i n θ c o s θ s i n 2 θ+ c o s 2 θ = t a n θ t a n 2 θ+ 1 < 0 , 所 以t a n θ < 0 , 可 知 角θ 在 第 二、 四象限。应选 D。 评注: 熟记三角 函 数 在 各 个 象 限 内 的 符 号是解题的关键。 三、 求三角函数的最值 例3 当 0 < x < π 3 时, 函 数 f( x) = c o s 2 x c o s x s i n x- s i n 2 x 的最小值是 。 分析: 此题初看给人难以下手的感觉, 通 过仔细思考, 可利用“ 弦化切” 找到解题的突 破口。 解: 函 数 f ( x) = c o s 2 x c o s x s i n x- s i n 2 x = 1 t a n x- t a n 2 x= 1 - t a n x-1 2 2 +1 4 。由0 < x < π 3, 可得0 < t a n x < 3, 所以当t a n x=1 2 时, 所求函数取得最小值为4 , 即f( x) m i n= 4 。 评注: “ 切 弦 互 化” 的 本 质 是 消 除 差 异。 利用“ 弦化切” 可以实现“ 二化一” , 即将正弦 函数和余弦函数统一成正切函数。 四、 证明三角恒等式 例4 求证: c o s 2 x- s i n 2 x 1 + 2 c o s x s i n x= 1 - t a n x 1 + t a n x。 分析: 从左向右证, 先对左边分母中的1 进行常值代换, 然后再化弦为切。 证明: 左边= c o s 2 x- s i n 2 x s i n 2 x+ c o s 2 x+ 2 c o s x s i n x = ( c o s x+ s i n x) ( c o s x- s i n x) ( s i n x+ c o s x) 2 = c o s x- s i n x s i n x+ c o s x= 1 - t a n x 1 + t a n x=右边。 所以原式成立。 评注: 证明三角 恒 等 式 时, 一 般 遵 循“ 由 繁到简” 的原则, 本题也可以从右向左 证 明, 即利用化切为弦证明。 作者单位: 1 . 江苏省无锡市第六高级中学 2 . 江苏省无锡市青山高级中学 ( 责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 2年1 2月 全科互知 

1 -1 2 s i n 2 2 α c o s 2 α+ 1 4s i n2 α·2 s i n2 α· c o s 2 α- c o s 2 α=c o s 2 α- 1 2s i n 2 2 α c o s 2 α+ 1 2 s i n 2 2 α c o s 2 α- c o s 2 α= 0 。 评注: 升降次的方法一般有两类: 利用倍 角、 半角 公 式, 如 c o s 2 α=1 + c o s 2 α 2 , s i n 2 α= 1 - c o s 2 α 2 , c o s α s i n α= 1 2s i n2 α 及 平 方 关 系 式; 利 用 乘 法 公 式 及 因 式 分 解, 如 c o s 8 α± s i n 8 α, c o s 6 α± s i n 6 α, c o s 4 α± s i n 4 α 等。 四、 结构变换 在三角求值、 化简及证明过程中, 常需要 对所给的条件及结论进行适当的结构 调 整, 从而使条件便于运用或结论更容易求出。 例 4 已 知 s i nα+s i nβ+s i nγ=0 , c o s α+ c o s β+ c o s γ= 0 , 求c o s ( α- β) 的值。 解: 对条件式子的结构进行适当变形, 产 生结论式子所需要的结构, 以便于求解。 由已知得s i n α+ s i n β=- s i n γ, c o s α+ c o s β=- c o s γ, 两式两边分别平方再相加得 2+2( c o sα c o sβ+s i nα s i nβ) =1 , 所 以 c o s ( α- β) =-1 2。 评注: 三角函数 式 结 构 变 化 的 典 型 方 法 有: 利用s i n θ± c o s θ 与s i n θ c o s θ 的转化关 系; 利 用 辅 助 角 公 式, 即 a s i nθ+b c o s θ= a 2+ b 2s i n ( θ+ φ) , 其 中 φ 由t a n φ=b a 确 定; 利用万能公式; 利用三角函数的积化和差 与和差化积等。 五、 公式的变形应用 在三角函数的求值、 化简及证明过程中, 有时使用公式的变形形式, 往往会产生 事 半 功倍的效果。 例5 求( 1 + t a n 2 1 ° ) ( 1 + t a n 2 0 ° ) ( 1 + t a n 2 5 ° ) ( 1 + t a n 2 4 ° ) 的值。 解: 注意到2 1 ° + 2 4 ° = 2 0 ° + 2 5 ° = 4 5 ° , 故 可两两组合求解。 ( 1+t a n2 1 ° ) ( 1+t a n2 4 ° ) =t a n2 1 ° + t a n 2 4 ° +t a n2 1 ° t a n2 4 °+1 , 由 t a n4 5 °= t a n ( 2 1 ° +2 4 ° ) = t a n 2 1 ° + t a n 2 4 ° 1 - t a n 2 1 ° t a n 2 4 °=1 , 可 得 1-t a n2 1 ° t a n2 4 °=t a n2 1 °+t a n2 4 ° , 即 t a n 2 1 ° + t a n2 4 ° t a n2 1 °+t a n2 4 °=1 , 所 以 ( 1 + t a n2 1 ° ) ( 1+t a n2 4 ° ) =2 。 同 理 可 得, ( 1 +t a n2 0 ° ) ( 1+t a n2 5 °) =2 。 故 ( 1+ t a n 2 1 ° ) ( 1+t a n2 0 ° ) ( 1+t a n2 5 ° ) ( 1+ t a n 2 4 ° ) = 4 。 评注: 三 角 公 式 的 典 型 变 形 形 式 有: t a n ( α+ β) = t a n α+ t a n β+ t a n ( α+ β) t a n α· t a n β, c o sα =s i n 2 α 2 s i n α, 2 s i n 2 α =1-c o s2 α, 2 c o s 2 α= 1 + c o s 2 α 等。 六、 消元变换 消元法是基本 的 数 学 方 法 之 一, 在 三 角 变换中常常使用它消去某一个角或某一个三 角函数, 从而使问题得到简化。 例6 设α, β, γ 满足0 < α < β < γ < 2 π , 若对任意x∈R, c o s ( x+ α) +c o s ( x+ β) + c o s ( x+ γ) = 0恒成立, 则γ- β=( ) 。 A. 2 π 3 B . 4 π 3 C . 2 π 3 或 4 π 3 D. 无法确定 解: 三个变量满足同一个关系, 依据目标 意识和特殊化处理, 构建方程寻求切入求解。 令x=- α 得c o s ( γ- α) =- 1 - c o s ( β- α) , 令x=- β 得c o s ( γ- β) =- 1 - c o s ( β- α) , 所以c o s ( γ- α) = c o s ( γ- β) 。令x=- γ 得 c o s( γ -β) +c o s( γ -α) = -1 , 所 以 c o s ( γ- α) = - 1 2。因为 0 < α < β < γ < 2 π , 所以γ- α=2 π 3 或4 π 3 , γ- β=4 π 3 或2 π 3 。注意 到0 < α < β < γ < 2 π , 所以γ- α=4 π 3 , γ- β= 2 π 3 。故γ- β= 2 π 3 。应选 A。 评注: 对任意实数x 恒成立的等式, 实质 是关于x 的方程有无数解的问题, 可利用特 殊赋值、 降元构建方程组求解, 但要注意隐含 条件的挖掘和应用。 作者单位: 甘肃省兰州市第三十四中学 ( 责任编辑 郭正华) 8 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 2年1 2月 全科互知