全科互知 

全科互知 

■高 洁 集合是高中数学的重要内容, 也是每年高 考的必考内容, 高考的考查形式主要以选择题 为主, 高考对集合的考查题型有集合的概念, 集合间的基本关系与集合的基本运算等。 题型1 : 集合的概念 例1 ( 1 ) 已 知 集 合 A = { 1 , 2 , 3 } , B= { ( x, y) | x∈A, y∈A, | x- y | ∈A} , 则 B 中 所含元素的个数为( ) 。 A. 2 B . 4 C . 6 D. 8 ( 2 ) 已 知 集 合 A = { ( x, y) | x, y∈N * , y≥ x} , B={ ( x, y) | x+ y= 8 } , 则 A∩B 中 元素的个数为( ) 。 A. 2 B . 3 C . 4 D. 6 解: ( 1 ) 通 过 x 的 取 值, 确 定 y 的 取 值, 即可得到 B 中所含元素的个数。由 A={ 1 , 2 , 3 } , B={ ( x, y) | x∈A, y∈A, | x- y |∈ A} , 可得当x= 3时, y= 1 , 2 , 满足集合 B; 当 x= 2时, y=1 , 3 , 满 足 集 合 B; 当 x=1 时, y= 2 , 3 , 满足集合 B。故集合 B 共有6个元 素。应选 C 。 ( 2 ) 由 题 意 可 得, A ∩B 中 的 元 素 满 足 y≥ x, x+ y= 8 , 且x, y∈N * 。由x+ x≤ 8 , 可得 x≤ 4 , 所以满足x+ y= 8的有( 1 , 7 ) , ( 2 , 6 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 4 ) 。故 A∩B 中元素的个数为4 。 应选 C 。 总结与反思: 解 决 集 合 问 题 的 关 键 有 三 点: 一是确定构成集合的元素是什么, 二是看 这些元素的限制条件是什么, 三是根据 元 素 的特征( 满足的条件) 构造关系式解决相应问 题。特别提醒: 含字母的集合问题, 在求出字 母的值后, 需要验证集合的元素是否满 足 互 异性。 题型2 : 集合间的基本关系 例2 集合 M ={ x | x= 5 k- 2 , k∈Z } , P= { x| x =5 n+3 , n∈Z} , S = { x| x = 1 0 m+ 3 , m∈Z } 之间的关系是( ) 。 A. S?P?M B . S=P?M C . S?P=M D. P=M ? S 解: 因为集合 M ={ x | x= 5 k- 2 , k∈Z } ={ x | x= 5 ( k- 1 ) + 3 , k∈Z } , P={ x | x= 5 n+ 3 , n∈Z} , 所 以 M =P。因 为 S= { x | x= 1 0 m +3 , m ∈Z} = { x | x=5×2 m +3 , m∈Z } ?P = { x | x=5 n+3 , n∈Z} , 所 以 S?P=M 。应选 C 。 总结与反思: 解 决 集 合 间 的 基 本 关 系 的 常用方法有数轴法, V e n n图 法 和 结 构 法, 若 集合中含有参数, 需要对集合中的等式 或 不 等式进行等价转化, 必要时需对参数进 行 分 类讨论。 题型3 : 集合的基本运算 例3 ( 1 ) 已 知 集 合 P = { ( x, y) | y= 2 x} , Q={ ( x, y) | x 2+( y- 1 ) 2= 0 } , 则 P∪ Q=( ) 。 A. 0 , 1 B .( 0 , 1 ) C . P D. Q ( 2 ) 设全集U={ x | x≥ 0 } , 集合 M ={ x | x 2- x < 0 } , N ={ x | x≥ 1 } , 则 M ∪( ?UN) =( ) 。 A. ( 0 , 1 ) B . [ 0 , 1 ) C . ( 1 , +∞) D. [ 0 , +∞) 解: ( 1 ) 由 集 合 Q = { ( x, y) | x 2 + ( y- 1 ) 2= 0 } ={ ( 0 , 1 ) } , 可得( 0 , 1 ) ∈P, 即 Q? P, 所以 P∪Q=P。应选 C 。 ( 2 ) 由x 2- x < 0 , 可得 x( x- 1 ) < 0 , 解 得0 < x < 1 , 所以 M ={ x | x 2- x < 0 } ={ x | 0 < x < 1 } 。因 为 N = { x | x≥1 } , U = { x | x≥ 0 } , 所以? UN={ x | 0 ≤ x < 1 } , 所以 M ∪ ( ? UN) ={ x | 0 ≤ x < 1 } 。应选 B 。 总结与反思: 解决集合的基本运算问题, 可根据集合的交集、 并集和补集的定义直接求 解, 必要时可结合数轴或 V e n n图帮助求解。 作者单位: 安徽省太和第一中学 ( 责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年9月 全科互知 

图像上任一点关于直线 x= 1的对称点都在 函数 y=f( x -1 ) 的 图 像 上。 综 上 可 知, f( x- 1 ) 与f( 1 - x) 图像关于直线 x= 1对 称。 第四组: 函数的 定 义 域 与 值 域 均 为 实 数 集问题 一般地, 设函数y= l o g m ( a x 2+ b x+ c) , 其 中 a ≠ 0 ,若 函 数 的 定 义 域 为 R,则 a > 0 , Δ= b 2- 4 a c < 0 ; 若 函 数 的 值 域 为 R,则 a > 0 , Δ= b 2- 4 a c≥ 0 。 例4 ( 1 ) 若函数f( x) = l o g 2( x 2+ a x- a) 的定义域为 R, 则实数a∈ 。 ( 2 ) 若函数f( x) = l o g 2( x 2+ a x- a) 的 值域为 R, 则实数a∈ 。 辨析: ( 1 ) 中, 由 定 义 域 为 R 知 不 等 式 x 2+ a x- a > 0的解集为 R, 即x 2+ a x- a > 0在 R 上恒成立, 则Δ= a 2+ 4 a < 0 。( 2 ) 中, 由值域为 R 知u( x) = x 2+ a x- a 的函数值 应取遍所有的正数, 则Δ= a 2+ 4 a≥ 0 。 解: 结合上述辨析, 即得结果。 ( 1 ) a∈( - 4 , 0 ) 。 ( 2 ) a∈( -∞, - 4 ] ∪[ 0 , +∞) 。 第五组: 函数恒有意义与定义域问题 一般 地, 设 函 数 f( x) =l o g a g( x) , 若 f( x) 在某区间 D 内 恒 有 意 义, 则 g( x) > 0 在区间 D 上恒成立; 若f( x) 的定义域为 D, 则不等式g( x) > 0的解集为 D。 例5 函数f( x) = l o g a( - x 2+ l o g 2 a x) 。 ( 1 ) 若函数 f( x) 在 0 , 1 2 内恒有意义, 则a∈ 。 ( 2 ) 若函数 f( x) 的定义域为 0 , 1 2 , 则 a∈ 。 辨析: 如果一个函数的定义域为 D, 则该 函数在区间 D 的任一子区间D0 上必恒有意 义。也就是说, 使得原函数有 意 义 的 自 变 量 的最大取值 范 围 是 D, 在 D0 上 尽 管 恒 有 意 义, 但 D0 为 D 的子区间。 解: ( 1 ) 依 题 设 知 -x 2 +l o g 2 a x > 0 , 即 l o g 2 a x > x 2 在 0 , 1 2 上 恒 成 立。 结 合 函 数 y=l o g 2 a x 与 y =x 2 的 图 像 ( 图 略 ) 易 知 0 < 2 a < 1 , l o g 2 a 1 2≥ 1 2 2 , 解得 1 3 2≤a < 1 2。 故 a∈ 1 3 2 , 1 2 。 ( 2) 依 题 设 知 -x 2 +l o g 2 a x > 0 , 即 l o g 2 a x > x 2 的解集为 0 , 1 2 。结合函数y= l o g 2 a x 与 y = x 2 的 图 像 ( 图 略 )易 知 0 < 2 a < 1 , l o g 2 a 1 2= 1 2 2 , 解得a=1 3 2 。故a∈ 1 3 2 。 第六组: 方程解的个数问题 若关于x 的方程a= f( x) 有实数解, 则 参数a 的取值范围就是函数f( x) 的值域; 若 关于x 的方程a=f( x) 在 某 区 间 内 有 两 个 不同 的 实 数 解, 则 直 线 y =a 与 曲 线 y = f( x) 在该区 间 内 有 两 个 不 同 的 公 共 点。结 合动直线y=a 上 下 平 移 分 析, 可 得 参 数 a 的取值范围。 例6 ( 1 ) 若方程x 2- x- a= 0在[ - 1 , 1 ] 内有实数解, 则实数a∈ 。 ( 2 ) 若方程x 2- x- a= 0的两个不同实 数解都在[ - 1 , 1 ] 内, 则a∈ 。 辨析: ( 1 ) 中, 只需满足在[ - 1 , 1 ] 内有实 数解, 可能只有一解, 也可能有两个不同的实 数解。( 2 ) 中, 必须满足在[ -1 , 1 ] 内有两个 不同的实数解, 解的个数是确定的。 解: 设f( x) =x 2-x- a, 则 f( x) 的图 像关于x=1 2对称。 ( 1 ) 依 题 设 知 Δ= 1 + 4 a≥ 0 , f( - 1 ) = 2 - a≥ 0 , 解 得 -1 4≤ a≤ 2 , 故所求a∈ -1 4, 2 。 ( 2)依 题 设 知 Δ= 1 + 4 a > 0 , f( 1 ) =- a≥ 0 , 解 得 -1 4 < a≤ 0 , 故所求a∈ -1 4, 0 。 作者单位: 江苏省东台市第一中学 ( 责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年9月 全科互知 

■崔云峰 在解数学问题中, 巧妙渗透数学思想方 法, 借助数学思想方法的引领, 不仅能培养解 题能力, 而且能优化认知结构, 提高同学们的 数学核心素养。在高一的初 始 阶 段, 通 过 集 合知识的学习, 合理借助数学思想方法, 在有 效提升解题技巧的同时, 可以大大优化 同 学 们的思想认知结构。 一、 函数与方程思想 例 1 已 知 集 合 M = x x=m+1 6, m∈Z , N = x x=n 2-1 3, n∈Z , P = x x=p 2+1 6, p∈Z , 请判断集合 M 、 N、 P 之间的关系。 分析: 根据集合的元素特征, 借助函数与 方程思想的应用, 利用三个集合间参数 的 关 系加以分析与讨论, 即可判断对应集合 的 基 本关系。 解: 集 合 M = x x=m+1 6, m∈Z = x x= 6 m+ 1 6 , m∈Z , N = x x=n 2-1 3, n∈Z = x x= 3 n- 2 6 , n∈Z , P = x x= p 2+1 6, p∈Z = x x= 3 p+ 1 6 , p∈Z 。 因 为3 n- 2 = 3 ( n- 1 ) + 1 , n∈Z , 所以3 n- 2 , 3 p+ 1都是3的整数倍加1 , 所以 N=P。而 6 m+ 1 = 3 × 2 m+ 1是3的偶数倍加1 , 所以 M ?N, M ?P。故 M ?N=P。 判断 集 合 间 关 系 的 常 用 方法有观察法、 集合元素特征 法、 数形结合法等。这里借助 函 数 与 方 程 思 想加以分析, 再结合集合的基本性质, 使得问 题圆满获解。 二、 分类讨论思想 例2 已 知 集 合 A = { 1 2 , a 2 +4 a, a- 2 } , 且- 3 ∈A, 则a=( ) 。 A. - 1 B . - 3或- 1 C . 3 D. - 3 分析: 根据题设条件, 利用元素与集合之 间的关系, 构建对应的方程, 结合分类讨论进 行分析与判断。 解: 因为集 合 A = { 1 2 , a 2 +4 a, a-2 } , 且- 3 ∈A, 所以a 2+ 4 a=- 3或a- 2 =- 3 , 解得a=- 1或a=- 3 。当a=- 1时, a 2+ 4 a= a- 2 =- 3 , 不满足集合元素的互异性, 舍去; 当a=- 3时, A={ 1 2 , - 3 , - 5 } , 符合 题意。 综上可知, a=- 3 。应选 D。 在解决此类集合问题时, 要注意集合元素的基本性质, 特别是元素的互异性。分类讨论思想主要应 用于含参数的集合问题, 同学们要加以重视。 三、 数形结合思想 例3 学校举办秋季运动会时, 高一( 2 ) 班共有2 4 名同学参加比赛, 有 1 2 人参加游 泳比赛, 有9人参加田赛, 有1 3人参加径赛, 同时参加游泳比赛和田赛的有 3 人, 同时参 加游泳比赛和径赛的有 3 人, 没有人同时参 加三项比赛。那么同时参加田赛和径赛的有 人。 分析: 根据题设条件, 设出对应的参数并 作出 V e n n图, 借助数形结合法, 合理构建对 应的方程组求解。 解: 设同时参加田赛和径赛的有x 人, 只 参加田赛的有y 人, 只参加径赛的有z 人, 画 出 V e n n图, 如图1所示。 图1 7 知识结构与拓展 高一数学 2 0 2 3年9月 全科互知