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本期邀请以总分7 1 0分考入北京大学的毕晨博同学分享自己在高中学习、 生活的经验, 毕 晨博的数学老师是《 中学生数理化》 的核心作者靳亭, 靳老师对毕晨博同学有着怎样的评价呢? 希望毕晨博同学的学习经验分享和靳老师的点评能对同学们的学习有所帮助。 哪怕生长于蛮荒，也要开出白海棠 ■北京大学 毕晨博( 河南省郸城县第一高级中学2 0 2 3级毕业生) ( 高考成绩: 语文1 3 6分, 数学1 4 2分, 英语1 4 4分, 理综2 8 8分, 共计7 1 0分) 我是2 0 2 3届考生毕晨博, 想到和当时的 我们一样带着几分疲惫但心里充满希冀的学 弟学妹们, 我感慨万千。 在我们学校, 2 0 2 3届的考生们喜欢用一 个词叫“ 星燧贸迁” 。是啊, 时间坚定而 永 恒 地推进着一切, 那时的我也同样在这里 过 着 风檐寸晷、 每日三点一线的生活, 同样会为将 要到来的高考感到焦虑, 同样经历过低 谷 与 崩溃的瞬间, 也同样充满幻想与期待, 拥有青 涩与骄傲, 或许这样的生活是高中的标配, 而 在这种生活中, 眼中仍然有光的少年是 我 们 共同的模样。 而如今, 我很幸运地跨过高考的门槛, 走 上一个更高的平台。回望来 时 的 路, 自 己 在 那段日子里有那么多真切的体验, 关于 高 考 备考, 还是有些话想与大家分享。 一、学习篇 对于未来将迎 接 高 考 的 各 位 同 学, 在 学 习上我所能分享的经验其实很有限, 比 较 重 要的有以下四个方面。 一是做好 总 结 反 思。这 包 括 错 题、 难 题 以及知识掌握情况。平常不细心错的题不应 该笑一下就过去, 有可能仔细想一下就 会 发 现自己其实有个知识点理解有偏差, 有 精 力 的话也可以专门总结自己经常错的简 单 题。 对于一些难题, 重要的是把问题理解透彻, 进 行一些有针对性的训练, 不能大差不差, 有时 候大概明白, 但是在某个地方就会卡壳, 导致 在考场上做不出来。 二是避免 无 效 学 习。高 中 这 些 日 子, 你 会感到有些漫长, 考试很多, 成 绩 起 起 伏 伏, 有时容易感到自己的努力没有成效, 也 可 能 真的陷入无效努力的困境。这种困境包括无 意识的训练、 敷衍应对平常的练习, 也包括在 课堂上对于自己认为已经掌握的东西不屑一 顾, 但又在被动地听课却不尝试从中找 出 新 的东西进行巩固。这种情况 非 常 正 常, 你 要 做的不是每一分钟都在学习, 而是有意 识 地 提高学习时的注意力, 让学习的每一分 钟 都 有收获。班主任靳亭老师总是说: “ 把平时当 考试, 考试才能像平时。 ” 对于 这 句 话 的 另 一 种理解是平时的练习也要认真对待, 考 试 时 才能有最大的收获。 三是善于向老师同学求助。在高中的学 习中, 必然会遇到许多个人独立解决不 了 的 问题或者是有些困惑的地方, 自己深入 思 考 的时候也容易发现许多问题, 在这种情况下, 一定要多和同学老师探讨, 探讨的过程 有 助 于自己的思考。大家交流各 自 的 想 法, 往 往 能让自己有许多新的收获, 解决已有的困惑, 发现错误的理解。千万不要因为不好意思而 浪费了 许 多 学 习 进 步 的 机 会。 在 备 考 的 后 期, 我的化学老师遇到问题的时候, 也喜欢找 班上几位成绩比较优秀的同学, 听听大 家 的 意见, 她自己也说这个过程让她解决了 很 多 困惑, 能够把问题更好地展示并解决给 班 上 的同学看。因此, 求助与探讨 的 过 程 也 是 分 享与共同进步的过程。 四是理 性 看 待 考 试 成 绩。 高 中 的 考 试 次数很多, 频 率 很 快, 经 常 一 次 考 试 刚 结 束 3 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知
下一场考 试 就 又 要 开 始。 如 果 你 考 好 了 过 于兴奋, 考 差 了 过 于 难 受, 那 很 可 能 两 次 考 试之间的 时 间 你 都 会 浪 费 掉。 或 者 说 考 差 就抓紧一 段, 考 好 就 放 松 一 段, 那 么 你 自 己 的学习很 可 能 是 没 有 正 确 的 节 奏。 作 为 高 中学生, 同学们必须明白考试只是对一段时 间一定范 围 知 识 点 的 考 查。 考 试 时 的 心 态 会对考试成绩产生很大的影响, 因此它并不 能完全代 表 你 的 真 实 实 力。 对 于 高 中 的 考 试, 我们必 须 做 到 对 其 中 暴 露 的 问 题、 不 足 之处以及可取之处进行总结, 具体的情况可 以专门抽出时间来全面梳理, 从而巩固知识 点、 提升考试能力、 训练考试技巧, 让自己的 考试发挥尽量达到稳定的水平, 让高考体现 出自己的真实水平。 二、 生活篇 陆游有句诗: “ 万 卷 古 今 消 永 日, 一 窗 昏 晓送流年。 ” 作为高中生, 尤其是河南的学生, 同学们在备考路上, 可能没有太多“ 生活” 可 言, 更不会像李清照所说“ 枕上诗书闲处好” 那般自在。但作为实实在在 的 人, 我 们 还 是 要面对一些人际关系和生活琐事。 一是对于人际关系问题。其实最简单的 处理方法就是做好自己, 不要太在意别 人 对 自己的看法, 在不打扰别人的前提下该 去 做 什么就去做, 该坚持的就要坚持, 该问的问题 一定要问。你身边的同学也在忙着自己的学 习, 或许他们对于你做的事不会想太多; 你的 老师们一定非常乐意帮助 你。在 备 考 路 上, 把人际关系简单化, 也不意味着不能有 好 朋 友, 而是意味着对于别人的看法不要想太多, 也不要对别人做的事想太多, 要专注于 自 己 眼下的事, 走好自己的路。 二是对于合理的放松休息。高中的生活 很累, 过高强度的学习会让你身心俱疲, 进而 使学习效率下降。因此, 在学校里, 我们要保 证充足的睡眠, 保持好充沛的精力; 积极地参 加体育课与一些活动, 拥有健康的身体; 学习 之余可以稍微与同学聊一些题外话来舒缓神 经。“ 偷得浮生半日闲” 往往可贵, 毕竟 我 们 有时连半日也浪费不得。合理的休息往往能 提高学习的专注度与效率, 帮你取得事 半 功 倍的效果。 三是对于日常心理的调整。整天泡在试 卷与课堂上, 或许会有同学容易陷入心理的困 境, 莫名地落到虚无主义的陷阱中去; 或许会 有同学产生压抑消极的情绪, 对自己逐渐失去 信心, 对未来感到迷茫与无所适从; 或许会渐 渐悟出一些以后你会觉得万分幼稚的“ 真理” 。 其实在这个过程中, 有负面的情绪实在正常不 过, 焦虑、 迷茫、 自卑甚至痛苦, 一切的悲伤都 是可以原谅的, 重要的是学会接受负面情绪, 学会调节负面情绪。你可以在郁闷的时候到 操场上跑两圈, 可以写点不是考场作文的东西 发泄自己的情绪。一定要记住这是个过程, 请 保持乐观向上, 带着骄傲走下去。 有位哲人曾经说过: “ 今天的你我重复着 昨天的故事。 ” 现在的我, 这个故事的末尾, 看 着站在故事里的你们, 想起自己被消磨 的 少 年意气, 想起那些带着青涩的回忆, 想起在郸 城一高看过的那些日升月落, 那些绝美 的 朝 霞与晚霞, 那些雨后夕阳洒满大地的金光, 我 会想象一些前人写过的故事在你们身上重演 的样子。不过, 即使是前人走 过 的 路 也 值 得 你亲自走一遍, 因为这路上有不平凡的风景。 最后, 还是那句“ 鹏北海, 凤朝阳, 又携书 剑路茫茫” , 期望大家经历这风刀霜剑只有黄 卷青灯的日子, 最终能成功 上 岸。我 在 北 京 大学等你。 名师点评: ( 郸城县第一高级中学 靳 亭) 作为毕晨博的高中三年的班主任兼数学 老师, 对晨博的 评 价 是: 自 律、 谦 逊、 专 注、 高 效、 综合素质高。无论生活上还是学习上, 习 惯都非常好, 礼貌待人, 乐于助人, 尊敬师长, 与老师、 同学关系也比较融洽, 是老师公认的 “ 理科小王子” , 同 学 眼 中 的“ 学 霸 少 年” 。高 中三年成绩基本上保持年级前三名, 由 于 表 现优秀在北京大学的“ 筑梦计划” 中获得全国 笔试面试综合成绩第一名, 获得北京大学6 0 分的加分资格; 同时高考裸 分 获 得 7 1 0 分 的 好成绩。祝愿毕晨博同学一如既往成为北京 大学耀眼的新星。也祝愿《 中学生数理化》 杂 志越办越好! ( 责任编辑 徐利杰) 4 知识篇 清北之路 高二数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知
■许昌市高中数学胡银伟名师工作室 胡银伟 数列是高中数学的重要内容, 而且是集 计算、 推 理、 综 合 训 练 于 一 体 的 重 要 知 识 内 容, 其与高等数学有较为密切的联系, 是进一 步学习的必备基础知识, 也是每年高考 命 题 的热点之一。 数列内容从高 考 命 题 情 况 来 看, 每 年 基 本是2到3个选择、 填空题和1道解答题; 试 题难度为中低档; 数列的通项与数列求 和 是 数列的主要问题形式, 也是高考命题的 主 要 内容和热点内容。选择、 填空题, 常聚焦于对 等差( 比) 数列基本量的运算、 前n 项和及等 差( 比) 数列性质进行考查; 解答题, 第一问一 般是借助数列的递推关系或性质考查数列的 通项, 第二问是考查分组求 和、 裂 项 相 消、 错 位相减等常规的数列求和方法及应用。由于 数列是一类特殊的函数, 故数列与函数、 不等 式等知识的综合考查也显 得 自 然、 协 调。此 外, 数列是反映自然规律的基本数学模型, 与 很多生活现象联系密切, 故构造与数列 有 关 的数学文化方面的试题也是高考命题的亮点 之一。 下面我们结合2 0 2 3年高考真题, 对数列 考点进行解读。 考点一 对等差( 比) 数列的辨析与判断 例 1 【 2 0 2 3年新课标全国 Ⅰ 卷第7题】 记 S n 为数列{ a n} 的前n 项和, 设甲: { a n} 为等差数 列; 乙: S n n 为等差数列, 则( ) 。 A. 甲是乙的充分但不是必要条件 B . 甲是乙的必要但不是充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D. 甲既 不 是 乙 的 充 分 条 件 也 不 是 乙 的 必要条件 命题意图: 本题 是 考 查 等 差 数 列 及 其 前 n 项和的定 义、 性 质, 考 查 充 分 条 件、 必 要 条 件的定义等知识, 考查同学们的逻辑推 理 及 数学运算等核心素养。 解题思路: 利用充分条件、 必要条件及等 差数列的定义, 再结合等差数列前n 项和与 第n 项的关系进行推理判断。 解析: ( 方法一) 甲: { a n} 为等差数列。设 其首项为a 1, 公差为d。 则S n= n a 1+ n( n- 1 ) 2 d, S n n = a 1+ n- 1 2 d =d 2 n+ a 1-d 2, S n+1 n+ 1 -S n n =d 2, 因此 S n n 为 等差数列, 则甲是乙的充分条件。 反之, 乙:S n n 为等差数列。 则 S n+1 n+ 1 - S n n = n S n+1-( n+ 1 ) S n n( n+ 1 ) = n a n+1- S n n( n+ 1 )为常数。设为t , 即n a n+1- S n n( n+ 1 )= t , 则S n= n a n+1- t· n( n+1 ) , 即 S n-1=( n- 1 ) a n- t · n( n- 1 ) , n≥ 2 。 两式 相 减 得, a n =n a n+1 - ( n-1 ) a n - 2 t n, 即a n+1- a n =2 t , 对n=1 也 成 立, 因 此 { a n} 为等差数列, 则甲是乙的必要条件。 所以甲是乙的充要条件, C正确。 ( 方法二) 甲: { a n} 为等差数列。 设数列{ a n} 的首项a 1, 公差为 d, 即 S n = n a 1+n( n- 1 ) 2 d, 则S n n = a 1+ ( n- 1 ) 2 d= d 2 n+ a 1-d 2。因此,S n n 为等差数列, 即甲 是乙的充分条件。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知
反之, 乙:S n n 为 等 差 数 列。 设S n+1 n+ 1- S n n = d 1, S n n =S 1+( n-1 ) d 1, 即 S n = n S 1+ n( n- 1 ) d 1, S n-1 = ( n-1 ) S 1 + ( n-1) · ( n- 2 ) d 1。 当n≥ 2时, 上 两 式 相 减 得, S n -S n-1= S 1+ 2 ( n-1 ) d 1。当n=1 时, 上 式 也 成 立, 于是a n= a 1+ 2 ( n- 1 ) d 1。 又a n+1- a n= a 1+ 2 n d 1-[ a 1+ 2 ( n- 1 ) d 1] = 2 d 1 为 常 数, 因 此{ a n} 为 等 差 数 列, 则 甲是乙的必要条件。 所以甲是乙的充要条件, 选 C 。 考点解读: 等差数列、 等比数列的判断常 用方法如表1 。 表1 等差数列 等比数列 定义法 a n+1- a n= d a n+1 a n = q( q≠0 ) 通项法 a n= a 1+( n- 1 ) d a n= a 1 q n-1 中项法 2 a n= a n-1+ a n+1 ( n≥ 2 ) a 2 n= a n-1 a n+1 ( n≥ 2 , a n ≠0 ) 前n 项和法 S n= a n 2+ b n ( a, b 为常数) S n= k q n- k ( k≠0 , q≠0 , 1 ) 考点二 对数列基本量及性质的考查 例 2 ( 1 ) 【 2 0 2 3 年全国甲卷文科第 5 题】 记 S n 为 等 差 数 列 { a n} 的 前 n 项 和。若 a 2+ a 6= 1 0 , a 4 a 8= 4 5 , 则S 5=( ) 。 A. 2 5 B . 2 2 C . 2 0 D. 1 5 ( 2 ) 【 2 0 2 3年新课标全国Ⅱ卷第8题】 记 S n 为等 比 数 列 { a n } 的 前 n 项 和。 若 S 4 = - 5 , S 6= 2 1 S 2, 则S 8=( ) 。 A. 1 2 0 B . 8 5 C . - 8 5 D. - 1 2 0 ( 3 ) 【 2 0 2 3 年 全 国 甲 卷 文 科 第 1 3 题】 记 S n 为 等 比 数 列 { a n} 的 前n 项 和。若 8 S 6 = 7 S 3, 则{ a n} 的公比为 。 命题意图: 本题是考查等差( 比) 数 列 的 基本量及其性质等知识, 考查逻辑推理 及 数 学运算等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 方法一, 根 据 题 意 直 接 求 出等差数列 { a n} 的 公 差 和 首 项, 再 根 据 前n 项和公式即可求解; 方法二, 根据等差数列的 性质求出等 差 数 列 { a n} 的 公 差, 再 根 据 前n 项和公式的性质即可求解。( 2 ) 方法一, 根据 等比数列的前n 项和公式求出公比, 再根据 S 4, S 8 的关系进行求解; 方法二, 根据等比数 列的前n 项和的性质 求 解。( 3 ) 先 分 析q≠ 1 , 再由等比数列的前n 项和公式及平方差公 式, 化简即可求出公比q。 解析: ( 1 ) ( 方法一) 设等差数列{ a n} 的公 差为d, 首项为a 1, 依题意可得: a 2+ a 6= a 1+d+ a 1+5 d=1 0 , 即a 1+ 3 d= 5 。 又a 4 a 8=( a 1+ 3 d) ( a 1+ 7 d) = 4 5 , 解得 d= 1 , a 1= 2 。 所以S 5= 5 a 1+5 × 4 2 ×d=5×2+1 0= 2 0 。选 C 。 ( 方法二) 因为a 2+ a 6= 2 a 4= 1 0 , a 4 a 8= 4 5 , 所以a 4= 5 , a 8= 9 。 从而d= a 8- a 4 8 - 4 = 1 , 于是a 3= a 4- d= 5 - 1 = 4 。所以S 5= 5 a 3= 2 0 , 选 C 。 ( 2 ) ( 方法一) 设等比数列{ a n} 的公比为 q, 首项为a 1。 若q=- 1 , 则S 4= 0≠ - 5 , 与题意不符, 所以q≠ - 1 ; 若q= 1 , 则S 6= 6 a 1= 3 × 2 a 1= 3 S 2 ≠0 , 与题意不符, 所以q≠1 . 由S 4 = -5 , S 6 =2 1 S 2, 可 得a 1( 1 - q 4) 1 - q =- 5 , a 1( 1 - q 6) 1 - q = 2 1 × a 1( 1 - q 2) 1 - q 。① 由①可得, 1 + q 2+ q 4= 2 1 , 解得q 2= 4 。 所 以 S 8 = a 1( 1 - q 8) 1 - q = a 1( 1 - q 4) 1 - q × ( 1 + q 4) =- 5 ×( 1 + 1 6 ) =- 8 5 。选 C 。 ( 方法二) 设等比数列{ a n} 的公比为q。 因为S 4=- 5 , S 6= 2 1 S 2, 所以q≠ - 1 , 否则S 4= 0 。 从而, S 2, S 4-S 2, S 6-S 4, S 8-S 6 成等 比数列。 因此, ( - 5 - S 2) 2= S 2( 2 1 S 2+ 5 ) 。 解得S 2=- 1或S 2=5 4。 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知
当 S 2 = -1 时, S 2, S 4 -S 2, S 6 -S 4, S 8- S 6, 即为- 1 , - 4 , - 1 6 , S 8+ 2 1 。 易知, S 8+ 2 1 =- 6 4 , 即S 8=- 8 5 。 当S 2 = 5 4 时, S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 = ( a 1+ a 2) ( 1+ q 2) = ( 1+ q 2) S 2 > 0 , 与 S 4= - 5矛盾, 舍去。 故选 C 。 ( 3 ) 若q=1 , 则 由 8 S 6=7 S 3, 得 8·6 a 1 = 7 · 3 a 1, 即a 1= 0 , 不合题意, 所以q≠1 。 当q ≠1 时, 因 为 8 S 6 =7 S 3, 所 以 8· a 1( 1 - q 6) 1 - q = 7 · a 1( 1 - q 3) 1 - q , 也即8 ·( 1 - q 6) = 7· ( 1- q 3) , 8· ( 1- q 3) ( 1-q 3) =7· ( 1 - q 3) , 即8 ·( 1 + q 3) = 7 , 解得q=-1 2。 考点解读: 当解决等差、 等比数列的运算 问题时, 有 两 个 处 理 思 路: 一 个 是 利 用 基 本 量, 将多元问题简化为首项与公差( 公比) 问 题, 虽有一定的运算量, 但思 路 简 捷, 目 标 明 确; 另一个是利用等差、 等比 数 列 的 性 质, 性 质是两类数列基本规律的深刻体现, 是 解 决 等差、 等比数列问题快捷又方便的工具, 应有 意识地去应用它。 考点三 对数列通项及前n 项和的考查 例 3 【 2 0 2 3 年 全 国 乙 卷 文 科 第 1 8 题】 记S n 为等差数列{ a n} 的前n 项和, 已知 a 2= 1 1 , S 1 0= 4 0 。 ( 1 ) 求{ a n} 的通项公式; ( 2 ) 求数列{ | a n | } 的前n 项和T n。 命题意图: 本题 是 考 查 等 差 数 列 的 通 项 及含绝对值数列的求和等知识, 考查逻 辑 推 理及数学运算等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 根据题意列式求解a 1, d, 进而可得结果; ( 2 ) 先求 S n, 讨论a n 的 符 号 去绝对值, 再结合S n 运算求解。 解析: ( 1 ) 设等差数列的公差为d。 由 题 意 可 得 a 2= a 1+ d= 1 1 , S 1 0= 1 0 a 1+ 1 0 × 9 2 d= 4 0 , 即 a 1+ d= 1 1 , 2 a 1+ 9 d= 8 , 解得 a 1= 1 3 , d=- 2 。 所以a n= 1 3 - 2 ( n- 2 ) = 1 5 - 2 n。 ( 2 ) 易知S n= n ( 1 3 + 1 5 - 2 n ) 2 = 1 4 n- n 2。 令a n= 1 5 - 2 n > 0 , 解得n < 1 5 2, 且n∈N * 。 当n≤ 7时, 则a n > 0 , 可得 T n = | a 1 | + | a 2 | +… +| a n|=a 1 +a 2 + … +a n =S n = 1 4 n- n 2; 当n≥ 8时, 则a n < 0 , 可得 T n = | a 1 | + | a 2 | + … +| a n|= ( a 1 +a 2 + … +a 7) - ( a 8+…+ a n) = S 7-( S n- S 7) = 2 S 7-S n = 2 ( 1 4 × 7 - 7 2) -( 1 4 n- n 2) = n 2- 1 4 n+ 9 8 。 综上所述, T n= 1 4 n- n 2, n≤ 7 , n 2- 1 4 n+ 9 8 , n≥ 8 。 考点解读: 对于 通 项 含 绝 对 值 的 数 列 求 和问 题, 如 本 例, 关 键 是 考 虑 当 n 取 何 值 时 a n > 0 , a n < 0 , 此 时 n 的 值 即 为 讨 论 的 临 界 值, 找到临界值后再进行讨论。 例 4 【 2 0 2 3 年 全 国 甲 卷 理 科 第 1 7 题】 设S n 为数列{ a n} 的前n 项和, 已知a 2= 1 , 2 S n= n a n。 ( 1 ) 求数列{ a n} 的通项公式; ( 2 ) 求数列 a n+1 2 n 的前n 项和T n。 命题意图: 本题 是 考 查 一 般 数 列 的 通 项 公式及错位相减法进行数列求和等知 识, 考 查逻辑推理及数学运算等核心素养。 解题思路: ( 1 ) 根据a n= S 1, n= 1 , S n- S n- 1, n≥ 2 , 即 可求出通项; ( 2 ) 根据错位相减法即可求解。 解析: ( 1 ) 已 知 2 S n =n a n, 当 n=1 时, 2 a 1= a 1, 即a 1= 0 ; 当n= 3时, 2 ( 1 + a 3) = 3 a 3, 即a 3= 2 。 当n≥2 时, 2 S n-1 = ( n-1 ) a n-1, 所 以 2 ( S n- S n-1) = n a n-( n- 1 ) a n-1= 2 a n。 化简得( n- 2 ) a n=( n- 1 ) a n-1。 当n≥3 时,a n n- 1=a n-1 n- 2= … =a 3 2 =1 , 即a n= n- 1 。 当n= 1 , 2 , 3 时 都 满 足 上 式, 所 以a n = n- 1 ( n∈N * ) 。 ( 2 ) 因为 a n+ 1 2 n =n 2 n , 所以 T n= 1 × 1 2 1 + 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知
2 × 1 2 2 + 3 × 1 2 3 +…+ n× 1 2 n 。 则1 2T n =1× 1 2 2 +2× 1 2 3 + … + ( n- 1 ) × 1 2 n + n× 1 2 n+1 。 两 式 相 减 得, 1 2T n = 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 3 +…+ 1 2 n - n× 1 2 n+1 = 1 2× 1 - 1 2 n 1 -1 2 - n× 1 2 n+1 = 1 - 1 +n 2 1 2 n ,即 T n = 2 - 2 + n 1 2 n , n∈N * 。 考点解读: 1 . 数列通项公式的常用求法: ( 1 ) 定义法, 直接利用等差数列或等比数列的 定义求解, 此法适用于已知数列类型的问题。 ( 2)已 知 S n 求 a n,可 用 公 式 a n = S 1( n= 1 ) , S n- S n-1( n≥ 2 ) 求解。( 3 ) 由递推公式求数 列通项, 可通过递推公式的变换, 转化为等差 数列或等比数列问题进行解答, 有时也 用 到 一些特殊的转化方法与特殊数列。 2 . 错位 相 减 法 求 数 列 和: ( 1 ) 如 果 数 列 { a n} 是 等 差 数 列, { b n} 是 等 比 数 列, 求 数 列 { a n· b n} 的前n 项和时, 常采用错位相减法。 ( 2 ) 错位相减法求和时, 应注意: ①在写“ S n” 与“ q S n” 的表达式时应特别注意将两式“ 错项 对齐” , 以便于下一步准确地写出“ S n - q S n” 的表达式; ②应用等比数列求和公式时, 必须 注意公比q 是否等于1 , 如果q= 1 , 应用公式 S n= n a 1。 考点四 对数 列 与 函 数、 不 等 式 等 的 综 合应用考查 例 5 【 2 0 2 3年新课标全国 Ⅱ 卷第 1 8 题 】 已 知 { a n } 为 等 差 数 列,b n = a n- 6 , n 为奇数, 2 a n, n 为偶数, 记 S n, T n 分 别 为 数 列 { a n} , { b n} 的前n 项和, S 4= 3 2 , T3= 1 6 。 ( 1 ) 求{ a n} 的通项公式; ( 2 ) 证明: 当n > 5时, T n > S n。 命题意图: 本题是考查数列的性质, 数列 的通项、 数列求和及与不等式的关系等知识, 考查逻辑推理、 数学运算及数学抽象等 核 心 素养。 解题思路: ( 1 ) 设等差数列{ a n} 的公差为 d, 用a 1, d 表示S n 及T n, 即可求解。( 2 ) 方 法1 , 利用( 1 ) 中的结论求出S n, b n, 再分奇偶 结合分组求和法求出 T n, 并与 S n 作差比较 作答; 方法2 , 利用( 1 ) 中的结论求出 S n, b n, 再分奇偶 借 助 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 求 出 T n, 并与S n 作差比较解答。 解析: ( 1 ) 设 等 差 数 列 { a n} 的 公 差 为 d, 而b n= a n- 6 , n= 2 k- 1 , 2 a n, n= 2 k, k∈N * 。 则b 1= a 1-6 , b 2=2 a 2=2 a 1+2 d, b 3= a 3- 6 = a 1+ 2 d- 6 。 于是 S 4= 4 a 1+ 6 d= 3 2 , T3= 4 a 1+ 4 d- 1 2 = 1 6 。 解得a 1= 5 , d= 2 , a n= a 1+( n- 1 ) d= 2 n+ 3 。 所以数列{ a n} 的通项公式是a n= 2 n+ 3 。 ( 2 ) 方法 1 : 由( 1 ) 知, S n =n( 5 + 2 n+ 3 ) 2 = n 2+ 4 n, b n= 2 n- 3 , n= 2 k- 1 , 4 n+ 6 , n= 2 k, k∈N * 。 当n 为 偶 数 时, b n-1 + b n =2( n-1 ) - 3 + 4 n+ 6 = 6 n+ 1 。 T n= 1 3 +( 6 n+ 1 ) 2 ·n 2=3 2 n 2+7 2 n。 当 n > 5 时, T n -S n = 3 2 n 2+7 2 n - ( n 2+ 4 n) =1 2 n( n- 1 ) > 0 , 因此 T n > S n。 当 n 为 奇 数 时, T n = T n+1 -b n+1 = 3 2( n+ 1 ) 2+ 7 2 ( n+1 ) - [ 4( n+1 ) +6 ] = 3 2 n 2+5 2 n- 5 。 当n > 5时, T n -S n = 3 2 n 2+5 2 n- 5 - ( n 2+4 n) = 1 2 ( n+2 ) · ( n-5 ) > 0 , 因 此, T n > S n。 ( 下转第1 3页) 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2 0 2 3年1 2月 全科互知