2023年全国新课标Ⅱ卷第21题解法赏析、溯源及推广
洪汪宝
一、试题呈现
双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2 5,0)，离心率为 5。
(1)求双曲线C 的方程。
(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为 A1、A2，过点(-4,0)的直线与双曲线 C 的左支交于 M、N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2 交于P，证明：P 在定直线上。
本题是2023年全国新课标Ⅱ卷第21题，主要考查双曲线的几何性质、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系等几个知识点。(1)小题是常见的方程问题，可以直接利用待定系数法即可求出双曲线的标准方程，大部分同学都可以得分；(2)小题是一道定直线问题，也是本题的难点所在，计算量稍大，还带有一定的技巧性，对同学们的运算求解能力和逻辑推理能力要求较高，体现了基础性、综合性、创新性、应用性的考查要求。
双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-2 5,0)，离心率为 5。
(1)求双曲线C 的方程。
(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为 A1、A2，过点(-4,0)的直线与双曲线 C 的左支交于 M、N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2 交于P，证明：P 在定直线上。
本题是2023年全国新课标Ⅱ卷第21题，主要考查双曲线的几何性质、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系等几个知识点。(1)小题是常见的方程问题，可以直接利用待定系数法即可求出双曲线的标准方程，大部分同学都可以得分；(2)小题是一道定直线问题，也是本题的难点所在，计算量稍大，还带有一定的技巧性，对同学们的运算求解能力和逻辑推理能力要求较高，体现了基础性、综合性、创新性、应用性的考查要求。
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