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中学生数理化·高考数学(2022年02期)
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《中学生数理化(高中版)》创刊于1981年10月,是由河南教育报刊社主管、主办的以高中学生为读者对象的自然科学期刊,刊号为CN41-1009/O,16开,月刊,期定价6元。封面字题为华罗庚,中国数学会、中国物理学会、中国化学会为顾问单位,荣获第三届国家期刊奖提名奖,蝉联河南省自然科学期刊二十佳,连续多年评为河南省一级期刊。
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位
:河南教育报刊社
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位
:河南教育报刊社
国内刊号:CN41-1099/O
国际刊号:ISSN1001-6953
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:
教育教学
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往期回顾
知识篇_科学备考新指向丨 空间角与距离的多维度解法
空间角与距离是立体几何中重要的度量关系,也是高考命题的热点。求直线与平面所成的角、二面角、点到直线的距离又是其中的重点,这些问题伴随着平行与垂直等位置关系,构筑了立体几何的重要部分。该类问题的解法主要有两种,即综合几何法与向量坐标法。
知识篇_科学备考新指向丨 立体几何中的切接截问题
简单几何体的面积与体积是必修教材的一节内容,在高考中也常以选择题或填空题的形式出现,以平面截几何体的截面问题和几何体的外接球、内切球问题为载体,考查同学们的直观想象和数学运算等核心素养。一、补形法求棱锥的外接球半径例1 如图1,在边长为2的正方形ABCD中,E,F,G分别为BC,CD,BE的中点,沿AE,AF,EF把这个正方形折起,使得B,C,D三点重合于S,
解题篇_创新题追根溯源丨 立体几何新题型例析
立体几何解答题通常是一证一算,证明题主要考查空间中平行和垂直关系的证明,计算题主要是求空间中的夹角和距离。在近几年的高考和模拟考试中,出现了一些立体几何新题型,更加灵活地考查同学们的空间想象能力和计算能力。本文归纳了几类新题型,希望对同学们的复习迎考能有所帮助。题型一、根据空间角确定点的位置这类题目通常已知空间角的大小或空间角的某个三角函数值,需要同学们确定几何体中某个点的位置或者某条线段的长度。
解题篇_创新题追根溯源丨 用向量法计算空间角
高考解答题对立体几何的考查主要侧重于证明和计算,其中用向量的方法计算空间角一直是考试的热点。本文精选一些典型例题,对如何计算空间角进行归纳和总结,供同学们复习时参考。题型一、求异面直线所成的角设a,b分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=
或θ=π-
,所以sin θ=sin
,cos θ=|cos
|。因此,求异面直线所成角的关键是正确写出直线的方向向量的坐标。
解题篇_创新题追根溯源丨 立体几何折叠问题的解题策略探析
立体几何折叠问题是近几年高考和模拟考试考查的热点。所谓立体几何折叠问题就是将平面图形沿着某条或者几条线段进行折叠变成立体图形,将静止问题动态化。立体几何折叠问题从知识和方法层面可以有效地考查空间点、线、面间的位置关系,以及空间角、空间距离、空间体积、面积等;从能力和素养层面可以有效地考查对空间图形的观察与分析、对比与想象等数学能力,有助于发展直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养。笔者通过对近几年的高考试题及模拟试题进行研究,从以下三个方面展开对立体几何折叠问题的解题策略的探析,希望对同学们的复习备考能有所帮助。
解题篇_创新题追根溯源丨 心有所“属”,一“探”究竟——立体几何探索性问题的解法梳理
立体几何是高中数学的重要内容之一,是高考高频考点,重点考查空间位置关系的判断和证明,空间角与距离的计算等问题。而探索性问题是近几年高考命题的热点,常以解答题中最后一问的形式出现,本文就如何合理有效地解决立体几何的探索性问题进行简单梳理。一、"属"教材:熟读课本,从根本上探究位置关系的判断问题高考命题主要考查立体几何的基本定义、判定定理、性质定理、重要的公理等。因此,只有熟练掌握立体几何相关的基础知识,才能从题目给出的条件,去寻找能够使用定义、定理、公理进行推理论证所需的条件。
解题篇_易错题归类剖析丨 立体几何翻折问题中常见的易错点剖析
把一个平面图形按某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系与数量上的变化,这就是翻折问题。它主要考查体积问题、位置关系的证明、空间角问题、最值问题等。倘若同学们对基本的概念认识不清,缺乏一定的空间想象能力,对问题的思考不够严谨,就很容易导致解题的失误。下面举例说明,供同学们复习时参考。易错点一、缺乏空间思维,把空间当成了平面例1 如图1,
解题篇_易错题归类剖析丨 立体几何二面角易错点浅析
近五年高考全国卷对立体几何的考查,基本属于中档难度,主要考查线线关系、线面关系、面面关系及空间角等知识点,尤其理科试卷,重点考查二面角的求解。在用传统法、空间向量法解题时,同学们常会因为各种原因而失分,接下来,本文将例谈立体几何二面角问题中五个方面的易错点,希望对同学们厘清解题思路、找准解题方法能有所帮助。
解题篇_易错题归类剖析丨 线、面位置关系证明中的易错点举例与剖析
立体几何中线面、面面位置关系的判定定理和性质定理的运用是历年来高考的一个必考知识点,而在批阅同学们的日常作业的过程中,笔者经常会遇到其解答步骤中出现这样或那样的错误,下面对这些常见的易错点进行整理,希望能对阅读此文的同学起到一定的警示作用。一、运用线面平行的判定定理时的易错点剖析线面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。
解题篇_易错题归类剖析丨 立体几何中线面角问题易错点透视
在高考立体几何大题中,空间角的考查是重点,尤其是线面角问题,是高考真题中的"高频"考点。从线面角的求解方式上看无非两条通道:(1)"综合法",即利用线面角定义作图、证明及计算;(2)"坐标法",即建立恰当的空间直角坐标系,通过求解直线的方向向量与平面的法向量代入公式计算求解。然而同学们在求解时往往有以下几个易错点与困惑点:若运用"综合法"作图时,要么"高线"难找,要么"斜线段"难求;若避开空间作角,转向"建系"时,有些点的坐标却不易求得。本文针对以上易错点深入剖析问题并总结破解策略。
解题篇_经典题突破方法丨 立体几何中的折叠问题
折叠问题是高考立体几何中的一个重要问题,也是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,能够很好地考查同学们的空间想象力与推理分析能力,处理这类问题的关键是抓住折叠前后图形的特征关系,首先画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前后哪些位置关系和数量关系不变,哪些位置关系和数量关系改变,然后转化为一般的立体几何问题。通常这些不变的位置关系和数量关系正是解决问题的关键。在高考中,折叠问题通常考查空间位置关系、空间距离及空间角的计算,下面结合例题分析。
解题篇_经典题突破方法丨 直击多面体的外接球的球心及半径
近年来,与球有关的问题经常出现在各地高考题中,而且难度比较大,大多数放在选择题和填空题的压轴位置。常见的题型是求多面体的外接球的体积或者表面积。它是立体几何中的一个重点与难点,也是高考考查的一个热点,考查同学们的空间想象能力及化归能力。研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,解决这类问题的关键是抓住球心到多面体的顶点的距离等于外接球的半径这一特征。而多面体的外接球的半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
解题篇_经典题突破方法丨 空间几何体中的截面问题
空间几何体中的截面问题考查形式多样,求解过程既考查同学们的空间想象力,又考查对空间图形中的公理和定理的掌握程度。考查题型主要有两类:一是截面形状的判断,截面图形的性质;二是与截面有关的计算问题。不管是哪一类问题,我们首先应了解截面的定义:用一平面去截几何体,此平面与几何体的交集叫作这个几何体的截面,此平面与几何体的表面的交集(交线)叫作截线,此平面与几何体的棱的交集(交点)叫作截点。然后结合空间几何中的三个公理和推论,以直线和平面平行的判定定理和性质定理求解。下面就几个典型的例题对截面问题做进一步研究。
解题篇_经典题突破方法丨 用向量法解决立体几何问题时的建系策略
立体几何解答题是每年高考中必考的一道解答题,其第二问我们常用空间向量法来解决线面角、二面角及距离问题,所以建立空间直角坐标系是必不可少的步骤。利用空间向量解决立体几何问题,在掌握了相应的概念和计算公式的基础上,主要突破四个大关,即建系关、求坐标关、求法向量关、应用公式关。而在四关中建系是入门关,这个入门关入得好,则接下来的解答才能顺利地开展,因此,如何建立恰当的空间直角坐标系是解决立体几何问题的关键。下面就用向量法解决立体几何问题时的建系策略做一些探究。
演练篇_核心考点AB卷丨 空间几何试题精选
1.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA丄平面 ABCD,且 PA=a,底面ABCD是边长为b的菱形,∠ABC=60°。(1)求证:平面PBD丄平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角O-PM-D的正切值是(?),求a:b的值。2.如图2,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是矩形,
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